DEBER 2 PROCESOS ESTOCASTICOS CAP 7 SCHAUM MARKOV

DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
CARRERA DE ING. EN ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN

ASIGNATURA: PROCESOS ESTOCÁSTICOS
DOCENTE: Ing. ARMANDO ÁLVAREZ

Unidad III
DEBER # 02
TEMA: PROCESOS DE MARKOV

Estudiante:
1) Daniel Lara

Fecha: 29/07/2015

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA
CARRERA DE ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN
PROCESOS ESTOCASTICOS
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO7 DEL LIBRO DE SCHAUM PROBABILIDADES
𝟏 −𝟐 𝟑
7.23. Dado 𝐀 = [𝟒 𝟏 −𝟏]. Encuentre uA donde: (a) 𝐮 = [𝟏, −𝟑, 𝟐], (b) 𝐮 = [𝟑, 𝟎, −𝟐], (c)
𝟓 𝟐
𝟑
𝐮 = [𝟒, −𝟏, −𝟏].
(a)
1 −2 3
= [1, −3,2] [4 1 −1]
5 2
3
= [1(1) + 4(−3) + 5(2), −2(1) + 1(−3) + 2(2), 3(1) − 1(−3) + 3(2)]
= [1 − 12 + 10, −2 − 3 + 4,3 + 3 + 6]
= [−1, −1,12]
(b)
1 −2 3
= [3,0, −2] [4 1 −1]
5 2
3
= [1(3) + 4(0) + 5(−2), −2(3) + 1(0) + 2(−2),3(3) − 1(0) + 3(−2)]
= [3 − 10, −6 − 4,9 − 6]
= [−7, −10,3]
(c)
1 −2 3
= [4, −1, −1] [4 1 −1]
5 2
3
= [1(4) + 4(−1) + 5(−1), −2(4) + 1(−1) + 2(−1), 3(4) − 1(−1) + 3(−1)]
= [4 − 4 − 5, −8 − 1 − 2,12 + 1 − 3]
= [−5, −11,10]
7.24.

𝟏
Dado 𝐀 = [
𝟑
𝐴𝐵 = [
𝐴𝐵 = [

𝟐 𝟏
−𝟏 𝟒
] y 𝐁 = [𝟔 −𝟑]. Encuentre 𝐀𝐁 y 𝐁𝐀
𝟏 𝟓
𝟏 −𝟐

1(2) − 1(6) + 4(1) 1(1) − 1(−3) + 4(−2)
]
3(2) + 1(6) + 5(1) 3(1) + 1(−3) + 5(−2)

0
−4
]17 −10

1(2) + 3(1)
−1(2) + 1(1)
4(2) + 5(1)
𝐵𝐴 = [1(6) + 3(−3) −1(6) − 3(1) 6(4) + 5(−3)]
1(1) + 3(−2) −1(1) + 1(−2) 1(4) − 2(5)

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5 −1 13
𝐵𝐴 = [−3 −9 9 ]
−5 −3 −6
7.25. Dado
𝟐
𝟐
𝐀=[
]
𝟑 −𝟏

Encuentre A2y A3
a) A2
2
2 2
2
A2 = [
][
]
3 −1 3 −1

2(2) + 2(3) 2(2) + 2(−1)
A2 = [
]
3(2) − 1(3) 3(2) − 1(−1)
10 2
A2 = [
]
3 7
b)A3
2
2 10 2
A3 = [
][
]
3 −1 3 7
2(10) + 2(3)
A3 = [
3(10) − 1(3)
26 18
3
A =[
]
27 −1

2(2) + 2(7)
]
3(2) − 1(7)

𝟏 𝟐
7.26. Dado 𝐀 = [
] . 𝐄𝐧𝐜𝐮𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 (𝐚)𝐀𝟐 , (𝐛)𝐀𝟑 , (𝐜)𝐀𝐧 .
𝟎 𝟏

a) 𝐴2 = [

1 2 1
][
0 1 0

1(1) + 2(0) 2(1) + 2(1)
2
1
]=[
]=[
1(0) + 1(0) 2(0) + 1(1)
1
0

4
]
1

1
b) 𝐴3 = [
0

1(1) + 0(2) 4(1) + 1(2)
4 1 2
1 6
][
]=[
]=[
]
1(0) + 0(1) 4(0) + 1(1)
1 0 1
0 1

1
c) 𝐴𝑛 = [
0

2𝑛
]
17.27.¿Cuáles vectores son vectores de probabilidad?
1 1 1 1
𝑢 = [ , ,− , ]
4 2 4 2
No es vector de probabilidad ya que uno de los términos es negativo
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1 1 3
𝑣 = [2, , 0, , , 1]
2 4 4
La suma de los términos que contiene el vector excede el valor de 1

Si es un vector de probabilidad.

1 1 1 1
𝑤 = [ , , , 0, ]
12 2 6 4

VECTORESDE PROBABILIDAD Y MATRICES ESTOCASTICAS
7.28. Encuentre un escalar múltiplo de cada vector v que es un vector de probabilidad:
𝒂) 𝐯 = [𝟑, 𝟎, 𝟐, 𝟓, 𝟑 ]
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 = 13
1
[3, 0, 2, 5, 3 ]
𝐯𝐩 =
13
𝟏

𝟏 𝟑

𝒃) 𝒗 = [𝟐, 𝟐 , 𝟎, 𝟒 , 𝟒 , 𝟏 ]
1 1 3
v ′ = [2, , 0, , , 1 ] ∗ 4 = [8, 2, 0, 1, 3,4 ]
2 4 4
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 = 18
1
[8, 2, 0, 1, 3,4 ]
𝐯𝐩 =
18
𝟏 𝟏
𝟏
𝐜) 𝐯 = [ , , 𝟎, ]
𝟐 𝟔
𝟒
1 1 1
v ′ = [ ,, 0, ] ∗ 12 = [6, 2, 0, 3]
2 6 4
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 = 11
1
[6, 2, 0, 3]
𝐯𝐩 =
11
7.29. ¿Cuáles matrices son estocásticas?
𝐴=[

0
1
0
]
1/2 1/4 1/4

A no es una matriz estocástica, puesto que esta no es una matriz cuadrada.
𝐵=[
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1 0
]
0 1
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B es una matriz estocástica, puesto que la suma de sus filas y columnasindependientemente
no es superior a 1.
𝐶=[

0
1
]
1/2 1/4

C no es una matriz estocástica, puesto que la suma de la segunda columna excede de 1.
𝐷=[

1/2 1/2
]
1/2 1/2

D si es una matriz estocástica, puesto que la suma de sus filas y columnas independientemente
no es superior a 1.

MATRICES ESTOCASTICAS REGULARES Y VECTORES DE PROBABILIDAD FIJOS
7.30. Encuentre el vector de probabilidad único fijo t de cadamatriz:
2
[32
5

1
3
3],
5

2
a) 𝐴 = [3
2
5

1
3]
3
5

(a) 𝐴 =

(𝑏)𝐵 = [0.2 0.8],
0.5 0.5

2 1
2 1
] = 15 [
] = [6
5 3
5 3
1
6
5
[6 5] = [
]
11
11 11
[

(𝑐)𝐶 = [0.7 0.3]
0.6 0.4

5]

0.2 0.8
b) 𝐵 = [
]
0.5 0.5
[0.5 0.8] = 10[0.5 0.8] = [5 8]
1
[5
13
c)

8] = [

5
8
]
13 13

0.7 0.3
𝐶=[
]
0.6 0.4
[0.6 0.3] = 10[0.6 0.3] = [6 3]

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