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Series infinitas
Una serie es la extensión del conocimiento de suma a los términos de una sucesión infinita. Es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + … lo cual suele escribirse demanera mas pequeña con el símbolo de sumatorio: .
Un ejemplo de serie infinita, denominada así debido a que dicha sucesión es infinita, es la denominada serie geométrica, la cual se obtiene a partir deun termino inicial multiplicado por una cantidad constante, por ejemplo: a + ar + ar2 + ar3 + … arn-1 + … . En este caso la cantidad inicial “a” es multiplicada por dicha cantidad “r” para obtener laserie infinita.
En general una serie infinita significa una expresión de la forma a + a2 + a3 +… an +… donde las an son números o funciones dadas por algunas reglas o formulas. Los tres puntossignifican que la serie nunca termina.
La aplicación de las series infinitas en general son muchas, pero es este caso las mencionamos como lo necesario para la resolución de problemas matemáticos que nopueden ser expresados en funciones elementales (potencias, raíces, funciones trigonométricas y sus inversas logaritmos y exponenciales y sus combinaciones), o en caso de que puedan resolverse es muycomplicado trabajar con ellos.
En estos casos encontramos una respuesta en función de una serie y tomamos los términos requeridos de acuerdo a la precisión deseada. Las ecuaciones diferenciales sonresueltas en muchas ocasiones en series infinitas; una integral definida por ejemplo ∫_0^0.1▒e-x2 dx, para la cual no hay solución en términos de funciones elementales, se puede resolver expandiendo suintegral en una serie e integrando termino a término.
(ITESCAM) (http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r73398.PDF)
Primer Teorema:

Si ∑_n^(+∞)▒〖=1^un 〗 es una serie infinitadada, y {Sn} la progresión de sumas parciales que dirigen esta serie. Entonces, tenemos que si lim┬(n→∞)⁡Sn es existente y es igual al valor de S, decimos que es CONVERGENTE la serie dada y que la...