Deberes Formales

1 Definici´on de determinante: Propiedades
Hist´oricamente la teor´ıa de los determinantes precedi´o a la teor´ıa de matrices, y muchos resultados
familiares de la teor´ıa de matrices fueronoriginalmente formulados en t´erminos de determinantes.
Hoy d´ıa, la teor´ıa de determinantes no juega un papel central en el ´algebra lineal, pero hay ciertos
aspectos en los que los determinantesofrecen una interpretaci´on m´as natural, o una prueba m´as
sencilla de algunos resultados. Por ello, el inter´es de los determinantes, sobre todo para matrices de
orden elevado, es, fundamentalmente,te´orico.
Notaci´on : 1.1 A lo largo de todo este tema s´olo consideraremos matrices cuadradas y, como ya
se hizo en el tema anterior, dada una matriz A ∈ Mn escribiremos:
A =

a1 a2 · · · an

paraindicar que las columnas de A son a1, a2, . . . , an (en ese orden).
Definici´on. 1.2 Llamaremos funci´on determinante a una aplicaci´on:
det : Mn → R
que a cada matriz cuadrada de orden n leasocia un escalar, que denotamos por det(A) (y en algunos
textos por |A|), de tal modo que se verifican las siguientes propiedades:
1) Multilinealidad:
a) Dados A = [a1|a2| · · · |an] ∈ Mn y α ∈ R sitenemos, para alg´un i (1 ≤ i ≤ n),
B =

a1 a2 · · · αai
· · · an

∈ Mn
entonces,
det(B) = αdet(A).
b) Si A = [a1|a2| · · · |ai
| · · · |an] ∈ Mn, siendo ai = b + c, para cierto i (1 ≤ i ≤ n),se tiene:
det(A) = det([a1|a2| · · · |
i)
z}|{
b | · · · |an])+
+det([a1|a2| · · · | c
|{z}
i)
| · · · |an])
2) Antisimetr´ıa:
Si una matriz B, se obtiene a partir de otra matriz A,intercambiando entre si dos columnas
distintas, entonces
det(B) = −det(A).
3) Normalidad:
Si In es la matriz identidad de orden n, entonces:
det(In) = 1.
Puede demostrarse que, para cada n, s´olo existeuna funci´on que satisface las propiedades de
la definici´on. De este modo, dada A ∈ Mn, el valor det(A) est´a definido de manera ´unica y lo
llamaremos el determinante de A. De hecho, a partir de...