deberes

Valor absoluto o módulo
En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de unnúmero real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.


Gráfica de la función valor absoluto.
Índice
Valor absoluto de un número real
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:2

Por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nuncanegativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de larecta numérica real.
La función valor absoluto una función continua definida por trozos.
Propiedades fundamentales

No negatividad

Definición positiva

Propiedad multiplicativa

Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)
Otras propiedades

Simetría

Identidad de indiscernibles

Desigualdad triangular

(equivalente a la propiedad aditiva)

Preservación de ladivisión (equivalente a la propiedad multiplicativa)
Otras dos útiles inecuaciones son:


Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:




El conjunto de los reales con la norma definida por el valor absoluto es un espacio de Banach.
Valor absoluto de un número complejo


El valor absoluto de un número complejo es la distancia desde al origen. Aquívemos que y su conjugado tienen el mismo valor absoluto.
Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:

De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma

con x e ynúmeros reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:

Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:

De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejocorresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.
Propiedades
El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si

y

es el conjugado de z, entonces se verifica que:



Estaúltima fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.
Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.





Intervalo (matemática)
Saltar a: navegación, búsquedaUn intervalo (del latín intervallum) es un espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real , es decir, una porción de recta entre dos valores dados.
Caracterización
El intervalo real es la parte de que verifica la siguiente propiedad dos puntos:
Si e pertenecen a con , entonces para todo tal que , se tiene que...