debye fonon

Considérese un cubo de lado . Del artículo partícula en una caja se sabe que la resonancia de los modos de las perturbaciones sonoras en el interior de la caja (considerando por ahora sólo los alineados con alguno de los ejes) tienen longitudes de onda dadas por:

donde es un entero. La energía de un fonón es:

donde es la constante de Planck y es la frecuencia del fonón. Se hace laaproximación de que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda, de lo que resulta:

donde es la velocidad del sonido en el sólido. En tres dimensiones se emplea:

La aproximación de la frecuencia como inversamente proporcional a la longitud de onda funciona para fonones de baja energía, pero no para fonones de alta energía fonones. Esta es una de las limitaciones del modelo, ycorresponde a un fallo de las predicciones para temperaturas intermedias, mientras que tanto para bajas como para altas temperaturas son exactas.
Para calcular la energía total,

donde es el número de fonones con energía . En otras palabras, el total de la energía es igual a la suma de la energía multiplicada por el número de fonones con esa energía (en una dimensión). En 3 dimensiones tenemos:

Sufrecuencia está limitada por el medio por el que se propaga (la red atómica del sólido). Obsérvese la siguiente ilustración de un fonón propagándose transversalmente.

Es razonable asumir que la longitud de onda mínima de un fonón sea del doble de la separación entre átomos, como se observa en la figura inferior. Hay átomos en un sólido. Nuestro sólido tiene forma cúbica, lo que significa que existenátomos por lado. La separación entre átomos viene dada entonces por , y la longitud de onda mínima será

tomando el modo de mayor orden (que sería infinito en el caso de los fotones)

Este es el límite superior para la triple sumatoria de la energía

Para funciones suaves y de variación lenta, la suma puede ser reemplazada por una integral (esto se conoce como aproximación de Thomas-Fermi)

Hastael momento, no ha habido mención alguna a , el número de fonones con energía . Los fonones obedecen la estadística de Bose-Einstein. Su distribución está dada por la famosa fórmula de Bose-Einstein

Dado que un fonón tiene tres estados posibles de polarización (uno longitudinal y dos transversales que prácticamente no afectan a su energía) se ha de multiplicar la fórmula anterior por 3,

Enrealidad se utiliza una velocidad sónica efectiva , es decir, que la temperatura de Debye (ver más adelante) es proporcional a . Más rigurosamente, , donde se puedes distinguir las contribuciones longitudinal y transversal a la velocidad del sonido (1/3 y 2/3 respectivamente). La temperatura de Debye o la velocidad efectiva del sonido es una medida de la dureza del cristal.
Sustituyendo esto en laintegral de la energía se llega a:

La facilidad con que se evalúan estas integrales para fotones se debe al hecho de que la frecuencia de la luz, al menos semiclásicamente, es independiente. Como ilustra la figura anterior, esto no es cierto para fonones. Para aproximar esta integral triple, Debye utilizó coordenadas esféricas

suponiendo valientemente que era lícito aproximar el cubo como una octavaparte de esfera

donde es el radio de esta esfera, que se halla mantieniendo invariante el número de partículaes en el cubo y en el octavo de esfera. El volumen del cubo es igual a volúmenes unitarios,

y así se llega a:

La sustitución del dominio original por el esférico en la integral supone otra de las fuentes de error del modelo.
La integral de la energía se convierte en

haciendo el cambioel cambio de variable ,

Para simplificar el aspecto de esta expresión, defínase la temperatura de Debye (un resumen de algunas de las constantes y variables dependientes del material):

Se llega así a la energía interna específica:

donde es la (tercera) función de Debye.
Derivando con respecto a se obtiene la capacidad calorífica adimensional:

Estas fórmulas tratan el modelo de Debye para...