Deduccion De Los Splines Cubicos

Deducción del cálculo de los Splines cúbicos

IMPORTANTE: Lean esta deducción, porque podría ir para el examen. Además, por supuesto, deberán leer la teoría general sobre los splines (aunque nosenfoquemos en los splines cúbicos, podría hacer preguntas sobre los splines en general).
Ante todo, recordemos que queremos construir un spline cúbico de interpolación que pase por los nodos descritosa continuación:













Lo cual nos da lugar a la siguiente función:

Además, recordemos las condiciones que deben cumplirse:
i. Continuidad de , lo cual implica la continuidad de los para .De esto tenemos garantía, pues los son polinomios.
ii. Condiciones de interpolación: y . Con este añadido, aseguramos que la función no tenga saltos.
iii. Condiciones de continuidad de en cadaintervalo :
iv. Condiciones de continuidad sobre en cada intervalo :
Como cada es un polinomio de tercer grado, cada uno de ellos tiene 4 constantes a determinar (los coeficientes del polinomio).Sumando, en total, tenemos condiciones que determinar; por lo tanto, necesitamos agregar 2 condiciones más para asegurar la unicidad de la función obtenida (más adelante veremos cuáles son esascondiciones faltantes).






Construcción de los splines

Sea . Los existen por la condición iv. Como es cúbico, tenemos que es lineal, y satisface que y . Entonces, podemos escribir:

Llamemos .Así, integrando 2 veces (I), obtenemos:

Donde C y D son constantes de integración. Vamos a averiguar cuánto valen:
a) Por las condiciones de interpolación:


Sustituyendo (III) y (IV) en (II),concluimos que:


Aunque a primera vista (V) parece complicada, nos ayuda a hallar los coeficientes que buscamos sin trabajar más, ya que los valores de C y D hacen que sea continua en .
b) Veamos ahorasi es continua en ; es decir:

Derivando (II), tenemos:

Ahora, veamos cuánto valen los límites arriba descritos:



Como queremos garantizar la continuidad de , debe cumplirse que . Llamando y...