Defectos Cristalinos

Moisés Villena Muñoz

Cónicas

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3.1 3.2 3.3 3.4 Circunferencia Parábola Elipse Hiperbola

Objetivos.

Se persigue que el estudiante: • Identifique, grafique y determine los elementos de una cónica conociendo su ecuación general. • Dado elementos de una cónica encuentre su ecuación. • Resuelva problemas de aplicación empleando teoría de cónicas

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CónicasLa Ecuación General de una cónica, tiene la forma: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + Exy + F = 0 Con A ≠ 0 ó B ≠ 0 ó ambos. Consideraremos E = 0 para la presentación que nos proponemos hacer.

3.1. Circunferencia
3.1.1. Definición.
Sea C un punto del plano y sea “ r ” un número real positivo. Se define la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos P ( x, y ) tal que la distancia de P a C esigual a “ r ”. Es decir:

C = {P( x, y ) / d ( P, C ) = r}
Al punto “ C ” se le denomina centro de la circunferencia y a “ r ” se le denomina radio de la circunferencia.

3.1.2. Ecuación canónica de la circunferencia
Supongamos que C tiene coordenadas ( h, k )
y

P (x, y )

r

O(h, k )

x

La distancia entre los puntos P ( x, y ) de la circunferencia y el punto

C (h, k ) , lacual denotamos como “ r ”, está dada por r = ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 ,
entonces, tenemos:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2

Ecuación canónica de una circunferencia. Para r 2 > 0 .

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2 2

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Si r 2 = 0 , tenemos ( x − h) + ( y − k ) = 0 , el lugar geométrico es el punto C (h, k ) . ¿Por qué? Si r 2 < 0 , la ecuación no representa lugar geométrico. ¿Porqué? Observe que en la ecuación general, debemos tener como condición necesaria pero no suficiente que A = B ≠ 0 .

Ax 2 + Ay 2 + Cx + Dy + F = 0
Podemos darle otra forma a la ecuación. Dividiendo para

A:

A 2 A 2 C D F x + y + x+ y+ =0 A A A A A
Resulta

x 2 + y 2 + C´x + D´ y + F´= 0
Un tipo especial de circunferencia es aquella que tiene por ecuación:

x2 + y2 = r 2
Es decir, unacircunferencia con centro C (0,0) , el origen:

y

y = x2 − r 2

O(0,0)

x
r

y = − x2 − r 2

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Ejemplo
Graficar la circunferencia que tiene por ecuación x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 Solución La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando cuadrados

(x

2

− 4 x + 4 + y 2 + 6 y + 9 = 12 + 4 + 9
2 2

) ()

( x − 2) + ( y + 3) = 25

Tenemos una circunferencia de radio r = 5 y centro C (2,−3)

r =5
C (2,−3)

Ejercicios Propuestos 3.1
1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: a. b. c.

x2 + y 2 − 2x − 4 y + 1 = 0 2 x2 + 2 y 2 − 2 x − 2 y + 9 = 0

x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 13 = 0

d. x 2 + y 2 − 4 x − 6 y + 17 = 0 2. Determine la ecuación dela circunferencia que contiene a los puntos A(0,6), B(1,5) y cuyo centro se encuentra sobre la recta definida por la ecuación x + y = −1 . Resp. (x + 3)2 + ( y − 2 )2 = 25 3. Determine la ecuación general de una circunferencia tangente a la recta definida por la ecuación 2 x − 3 y + 5 = 0 , y está centrada en el punto (−1,−2) Resp. 13x 2 + 13 y 2 + 26 x + 52 y − 16 = 0 4. La intersección de lasrectas L1 : 2 x − y + 3 = 0 y L2 : 4 x + y − 2 = 0 es el centro de una circunferencia que es tangente a la recta L3 : x − y + 1 = 0 . Determine la ecuación de la circunferencia. Resp. x +

(

1 2 6

) + (y − 8 )2 = 121 3 72
506

5. Determine la longitud de la cuerda de la circunferencia que tiene como ecuación x 2 + y 2 − 6 x − 14 y − 111 = 0 conociendo que el punto medio de dicha cuerdatiene coordenadas

(17 , 7 ) . 2 2

Resp.

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3.2. Parábola
3.2.1. Definición
Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos P ( x, y ) tal que su distancia al punto F es igual a su distancia a la recta l . Es decir: Parábola = {P ( x, y ) / d ( P, F ) = d ( p, l )}

Al punto F se le denomina foco de...