Defexion

RELACION ENTRE CURVATURA Y MOMENTO FLECTOR Antes de presentar los procedimientos para calcular deflexiones, es necesario definir los términos que se usaran; y encontrar las relaciones fundamentales entre la curvatura de una viga y los esfuerzos internos y momentos. La elástica de una viga es la forma que toma el eje neutro cuando se carga la viga, una línea que muestre la forma flexionadasometida a carga es la elástica de la viga, la pendiente de una viga se define como la pendiente de la tangente a la elástica en un punto cualquiera la figura 1, muestra la curvatura elástica de una viga deformada por cargas (no indicadas) respecto a su posición recta final. Las tangentes a la curvatura elásticas se muestran en A y B, con los símbolos  A y  B indicando la pendiente de la curva en esospuntos.

Figura 1

La deflexión de una viga es el movimiento (desviación) de un punto situado sobre la curva elástica, con respecto a su posición original sin carga. Se usan los símbolos  A y  B en la figura 1 para indicar la deflexión de los puntos A y B de esta viga, con respecto a la posición sin carga. Como las deflexiones de la viga son pequeñas con respecto a su longitud, cada segmentode la elástica puede considerarse aproximadamente como un arco de círculo. El radio del arco se llama radio de curvatura y se le asigna el símbolo  . La figura 2 muestra la curva elástica de una viga flexionada mediante cargas (no mostradas). Cualquier segmento pequeño, tal como el AB, es un arco de círculo de radio 1 .
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Figura 2

Cada segmento diferente de la curva tiene un diferenteradio de curvatura, como se demostrara posteriormente en este trabajo. Por consiguiente el segmento CD de la figura 2 tiene un radio de curvatura  2 , que es diferente de 1 . El centro de la curvatura de intersección de los radios, tal como los puntos O1 y O2 . Existe una relación definida entre el radio de curvatura de la viga, el esfuerzo en la fibras extremas, y el momento flexiónate queproduce ese esfuerzo. Podemos encontrar esa relación considerando la figura 3. La figura 3 (a) muestra una pequeña sección de una viga sin carga, de longitud dx ; la figura 3 (b) muestra la misma sección después de que la viga se ha deformado por la acción de cargas aplicadas. Puesto que las acciones planas antes de la deformación se conservan planas después de ella, y en esta pequeña sección de lacurvatura elástica es un arco de círculo, es A ' B ' y C ' D ' se cortaran en el centro de la curvatura O , formando un sector circular. El eje neutro (curva elástica) no esta sujeto a ningún esfuerzo y se conserva la longitud original dx . Sin embargo las otras fibras cambian de longitud. Supóngase que las fibras inferiores, situadas a una distancia c a partir el eje neutro, aumentan su longitud enuna cantidad  .

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Figura 3

Considerando la geometría de los sectores semejantes Onn y OB ' D ' , podemos escribir:

d 

dx





dx    c

(a)

Resolviendo, obtenemos

dx    c    dx     ; cdx   ; y
c






dx

(b)

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A partir de las definiciones básicas
variacion en longitud   longitud original dx



Y también  


E. Eliminando  de estas ecuaciones, tenemos


dx




E

(c)

Sustituyendo está en la ecuación (b) nos da

c


Donde:




E

Ec. (1)

  Esfuerzo en las fibras extremas, en lb/plg2 o Pa,
E  Modulo de elasticidad, en lb/plg2 o Pa,

c  Distancia entre el eje neutro y las fibras extremas, plg o m,

  Radio de curvatura, plg o m
Puede obtenerse otra expresiónútil, sustituyendo la relación   Así:
Mc en la Ecuación 1. I

c






E 1



Mc I E





M EI
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Que es la relación entre la curvatura de una viga y el momento flexionante. Podemos obtener una expresión adicional eliminando  de las ecuaciones (a) y 2:

d 

dx



;

1


1 



d dx

(a)


y llegamos a:

M EI

(2)

d M  dx EI...