Definición de límites

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para La Educación Universitaria
I.U.T.E.P.I
Acarigua- Portuguesa.





























Alumnos.
Perez Noris
Gonzales Yennifer
Castillo Yoselin
Maldonado Nelson.

Sala de Conferencia.
Turno Nocturno.
Mayo. 2015






Definición de límites.

Es interesante recalcar que está formado por la unión de dos vocablos que tienen suorigen etimológico en lenguas antiguas. Así, límites procede de la palabra latina limes, que es el genitivo de limitis que puede traducirse como borde o frontera de algo.


La división que marca una separación entre dos regiones se conoce como límite. Este término también se utiliza para nombrar a una restricción o limitación, al extremo que se puede alcanzar desde el aspecto físico y al extremo aque llega un periodo temporal.

Para la matemática, un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un límite matemático, por lo tanto, expresa la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor.
Una definición informal del límite matemático indica que el límite de unafunción f(x) es T cuando x tiende a s, siempre que se puede hallar para cada ocasión un x cerca de s de manera tal que el valor de f(x) sea tan cercano a T como se pretenda.

Teorema de limites
Si una función tiene límite es único. 

H) Existe limx->af(x)=b
T) b es único
Demostración
La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.Suponemos que b > c.
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε.
limx->af(x)=c => (por def. de límite) para todo Ec,ε existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε.
Consideremos un ε tal que Eb,ε ∩ Ec,ε = Ø.

Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo xperteneciente al E*a,δ se cumple
f(x) pertenece a Eb,ε
f(x) pertenece a Ec,ε
Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.





Teorema
Existe el límite finito de una función <=> los límites laterales son iguales.

H) limx->af(x)=b
T) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b
Demostración:
Directo:
limx->af(x)=b => (por def. de límite) paratodo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε.
=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) pertenece al Eb,ε => (por def. de límites laterales) limx->a-f(x)=b.
y para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) pertenece al Eb,ε => (por def. de límites laterales) limx->a+f(x)=b.
Recíproco:
limx->a+f(x)=b=> (por def. de límites laterales) para todo ε > 0 existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ1) f(x) pertenece al Eb,ε.
limx->a-f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ2,a) f(x) pertenece al Eb,ε.
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente a E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε.
=> (por def. de límite) limx->af(x) = b.Ejemplo: en la función del ejemplo anterior, no existe limx->2f(x), pueslimx->2-f(x) ≠ limx->2+f(x).
Teorema
Conservación del signo
Para valores de x suficientemente próximos al valor de tendencia, la función tiene el mismo signo que su límite.

H) limx->af(x)=b > 0
T) Existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > 0
Demostración:
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ> 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε. 
Es decir, b - ε < f(x) < b + ε.
Consideremos ε < b => 0 < b - ε < f(x) => f(x) > 0.
Así, basta considerar un ε menor que b, para tener un entorno de a donde f(x) es mayor que 0.

Nota: El teorema también se cumple para valores negativos.
Si la función tiene distinto signo en la mitad izquierda del entorno de a que en la mitad...