Definición en teoría de conjuntos

Definición en teoría de conjuntos



En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contarhaciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de unconjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuerael conjunto que contiene solo a 1 y a 0.
Formalmente, un conjunto x se dice que es un número natural si cumple
1. Para cada y ∈ x, y ⊆ x
2. La relación ∈x = {(a, b) ∈ x • x | a ∈ b}es un orden total estricto en x
3. Todo subconjunto no vacío de x tiene elementos mínimo y máximo en el orden ∈x
Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cadaelemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que ∅ no contiene elementos. Luego se definenlos siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.
Se define -según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denotapor 0 y que cada número natural n tiene un sucesor denotado como n+. Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:
0 = ∅
n+ = n ∪ {n}
De esta manera, cada elemento dealgún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:
Por definición 0 = {} (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
1 es el sucesor de0, entonces 1 = 0+ = ∅ ∪ {0} = {0}
2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces 2 = 1+ {0} ∪ {1} = {0, 1} .
y en general
3 = {0, 1, 2}
4 = {0, 1, 2, 3}
5 = {0, 1, 2, 3, 4}