Definición Formal del Límite

04/03/2012
Anónimo [El conocimiento humano pertenece al mundo]
1CV12
Cálculo
Definición formal de límite
Sea f(x) definida en un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente el mismox0. Decimos que el límite de f(x) cuando x se aproxima a x0 es el número L, y escribimos
,
Si, para cada número ε>0, existe un número δ>0 correspondiente tal que, para toda x,


Ejemplos usandola definición formal de límite
Ejemplo 1:
Probar que

Solución Sean x0=1, f(x) = 5x – 3 y L = 2 en la definición de límite. Para cualquier ε > 0, dada, debemos encontrar una δ > 0 conveniente,de manera que si x ≠ 1 y x está a una distancia menor que δ de x0=1, es decir, siempre que
,
Es cierto que f(x) está a una distancia menor que ε de L = 2, de modo que

Para determinar δ, trabajamoshacia atrás a partir de la desigualdad ε:

Por lo tanto, podemos tomar δ=ε/5. Si , entonces

Lo que prueba que .
El valor de δ= ε/5 no es el único que hará que implique . Cualquier δ positivamenor lo hará. La definición no exige encontrar la “mejor” δ positiva, sino simplemente una que funcione.

Ejemplo 2:
Probar que

Solución a) Sea ε > 0 dado. Debemos encontrar δ > 0 tal que paratoda x
implique
La implicación será válida si δ es igual a ε o a cualquier número positivo menor. Esto prueba que
b) Sea ε > 0 dado. Debemos encontrar δ > 0 tal que para toda x
implique
Comok – k = 0, podemos usar cualquier número positivo para δ, y la implicación será válida. Esto prueba que .

Ejemplo 3: Determinación algebráica de delta
Para el límite , encontrar una δ > 0 quefuncione para ε = 1. Esto es, encontrar una δ > 0 tal que para toda x

Solución Organicemos la búsqueda en dos pasos, como se explica a continuación.
1. Resolver la desigualdad para encontrar unintervalo que contenga a x0 = 5, en donde la desigualdad se satisfaga para toda x ≠ x0.

La desigualdad se satisfice para toda x en el intervalo abierto (2,10), de manera que también se satisfice para...