Definici n de diferencial

Definición de diferencial (informal)
Sea y=f(x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene al número x.
 
Se define a la diferencial de x como dx, cualquier número real diferente de cero.

Se define  a la diferencial de y como dy, dado por  dy=f '(x) dx.
Diferencial de una función
En matemáticas, concretamente en cálculo diferencial, el diferencial es un objeto matemático querepresenta la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. Existen diversas definiciones de diferencial en diversos contextos.
Funciones de una variable
Informalmente, el diferencial dy se define en cursos introductorios mediante la expresión:

donde  es la derivada de f con respecto a x, y donde dx es una variable realadicional (de manera que dy es una función de dos variables x, y dx). La notación es tal que la expresión:

donde la derivada es representada en la notación de Leibniz dy/dx, se mantiene, y es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales.
El significado preciso de las variables dy y dx depende del contexto de aplicación y del nivel de rigor matemático requerido. Segúnconsideraciones matemáticas rigurosas modernas, las notaciones dy y dx son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar un significado geométrico particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significado analítico si el diferencial es considerado como una aproximación lineal al incremento de una función. Enaplicaciones físicas, a menudo, se requiere que las variables dx y dy sean sumamente pequeñas (infinitesimales).
Definición
Para funciones de variables reales es posible definir el diferencial rigurosamente interpretándolo como una 1-forma. Así el diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera.1 El diferencial de una función ƒ(x) de variable real  es lafunción df:

donde dx y df son covectores del espacio cotangente  que es isomorfo al propio . Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dado que dx(x, Δx) = Δx es convencional escribir dx = Δx, de manera que la igualdad

se mantiene.
Si f(x) es una función derivable, la diferencial de unafunción correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.
La diferencial de una función se representa por dy.


DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
 
Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h.
 
Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levantauna paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.
 

 
                                        
 
 
Diferencial de una función en un punto
 
Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) · h. Por tanto,
 
                                              dy = df(x) = f'(x) · h
 
Propiedades de la diferencial
 Primera propiedad:
 
La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado.
 
Segunda propiedad:
 
Al ser dy = f ' (x)·h = , la diferencia de una función en un punto es el incremento  (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x.
 
Tercera propiedad:
 
Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) =dx = f'(x) · h = 1 · h = h. Así, dx = h y
 
Cuarta propiedad:
 

cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a


cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.
 
 
Ejemplos:
 Un móvil se mueve según la relación s = 5t2 + t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos.
 
Se quiere saber...