Definicion de Conjunto

Indice

Definición de Conjunto…………………………………………….3
Desarrollo Histórico……………………………………………….3
Características de los conjuntos……………………………………..5
Conjunto Universo, Vacío…………………………………………6
Números naturales, enteros,
racionales, reales e imaginarios……………………………………..8
Subconjuntos…………………………………………………….11
Conjunto potencia……………………………………………..…12
Bibliografía…………………………………………………..…13Definición de Conjunto
Un conjunto es cualquier colección, considerada como un todo, de objetos bien definidos de nuestro pensamiento o nuestra intuición.
En realidad, la idea de conjunto es tan básica, que no admite propiamente una definición, en el sentido de que no puede definirse a partir de otros entes matemáticos más básicos. Lleva consigo las ideas de elemento y pertenencia. Los elementosque pertenecen a un conjunto dado se llaman sus elementos o miembros. La notación x Є X indica que el elemento x pertenece al conjunto X.
Ejemplo 1:
Designamos mediante a un conjunto A al que pertenecen los elementos 0.1 y escribimos
Ejemplo 2:
Sea se cumple entonces:



Desarrollo Histórico
En el último cuarto del siglo XIX se vivió un episodio apasionante de la historia de lasmatemáticas que las ligaría desde entonces a la historia de la lógica. Primero, Georg Boole (1815-1864) en su Mathematical Analysis of Logic trató de presentar la lógica como parte de las matemáticas. Poco después Gottlob Frege (1848-1925) intentó mostrar que la aritmética era parte de la lógica en su Die Grundlagen der Arithmetik. Pero, dando un gran paso tanto en la historia de las matemáticas comoen la historia de la lógica, G. Cantor se había adelantado a Frege con una fundamentación lógica de la aritmética. Cantor había demostrado que la totalidad de los números naturales comprendidos en el intervalo de extremos 0 y 1 no es numerable, en el sentido de que su infinitud no es la de los números naturales. Como una consecuencia de esa situación, Cantor creó una nueva disciplina matemáticaentre 1874 y 1897: la teoría de conjuntos.
Su obra fue admirada y condenada simultáneamente por sus contemporáneos. Desde entonces los debates en el seno de la teoría de conjuntos han sido siempre apasionados, sin duda por hallarse estrechamente conectados con importantes cuestiones lógicas. Según la definición de conjunto de Cantor, éste es “una colección en un todo de determinados y distintosobjetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos del conjunto”. Frege fue uno de los admiradores de la nueva teoría de Cantor, y dio una definición de conjunto similar.
En 1903 B. Russell demostraría que la teoría de conjuntos de Cantor era inconsistente y cuestionaría la definición de conjunto en la teoría de Cantor. Pero pronto la teoría axiomática de Zermelo (1908) yrefinamientos de ésta debido a Fraenkel (1922), Skolem (1923), von Newman (1925) y otros sentaron las bases para la teoría de conjuntos actual. Es indiscutible el hecho de que la teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas, es además, la teoría matemática dónde fundamentar la aritmética y el resto de teorías matemáticas. Es también indiscutible que es una parte de la lógica y en particular unaparte de la lógica de predicados.
En esta historia cruzada de las matemáticas, la lógica y los fundamentos de ambas, la teoría de conjuntos permitiría por un lado una fundación logicista de las matemáticas; pero por otro lado la teoría de conjuntos mirada como parte de las matemáticas proporciona el metalenguaje, el contexto o sustrato de las teorías lógicas. Finalmente, puede ser completamenteexpresada en un lenguaje de primer orden y sus axiomas y teoremas constituyen una teoría de primer orden a la que pueden aplicarse los resultados generales que se aplican a cualquier teoría de primer orden.
En los capítulos que siguen se presenta primero la teoría intuitiva de conjuntos, basada en la original de Cantor, para seguir con sus problemas de inconsistencia y la solución axiomática...