Definicion de continuidad en en un punto

Definición de continuidad en un punto.
Definición.
Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Observación
Lacontinuidad de f en x=a implica que se cumplan estas tres condiciones:
a.- Existe el límite de la función f(x) en x=a.
b.- La función está definida en x=a, es decir, existe f(a).
c.- Los dos valoresanteriores coinciden.
Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.
Definición
Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite porla derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide conel valor que toma la función en ese punto, es decir

Nota
Es evidente que si una función es continua por la derecha y por la izquierda en un punto, es continua en dicho punto.
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Ejercicios

2.- Propiedades de la continuidad local.
1.- Unicidad del límite.
Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en ese punto.
2.- Teorema delsigno.
Si una función es continua en un punto , entonces existe un entorno simétrico de x=a en el que los valores que toma f tienen el mismo signo de
f(a).

3.- Anulación de la función.
Siuna función es continua en x=a y toma valores positivos y negativos en cualquier entorno simétrico del punto x=a, la función se anula en dicho punto.
4.- Acotación de la función.
Si una función escontinua en el punto x=a, entonces está acotada en ese punto, es decir, existe un entorno simétrico de x=a en el que la función está acotada.
5.- Continuidad y operaciones.
Las operaciones confunciones continuas en x=a da como resultado otra función continua en un entorno simétrico de x=a, siempre que tenga sentido la operación.
Ejemplos
1.- Estudiar la continuidad de las funciones:...