Definicion de diferencial

Unidad 1
Diferenciales

Contenido:

 Definición de diferencial.  Interpretación geométrica de una diferencia.  Teoremas típicos de las diferenciales.  Calculo de aproximaciones.  Ejemplos.  Conclusión sobre el trabajo de unidad.

Alumno:

Luis Ángel Nuño Ayón

Carrera:

electromecánica 3 sem.

BIBLIOGRAFIA:

PAGINAS WEBhttp://www.biopsychology.org/apuntes/calculo/calculo2.htm http://www.mitecnologico.com/Main/TeoremasTipicosDiferenciales

LIBROS
CALCULO VOL.1_ LARSON_ HOSTETLER_EDWARS MATEMATICAS AVANZADAS PARA INGENIERIAS_ KREYSZIG VOL.I CALCULO DE UN VARIABLE TRASCENDENTES Y TEMPRANAS_ JAMES STEWART CALCULO DIFERENCIAL_ COLECCIÓN DGTI

Definición de diferencial
Una diferencial de una función es igual al producto de su derivada por el incremento de lavariable independiente. La diferencial de una función surgió históricamente del concepto de 'indivisible'. Este concepto, que desde un punto de vista moderno nunca estuvo muy claramente definido, era en su tiempo (en el siglo XVIII) fundamental en el análisis matemático. Las ideas referentes a él sufrieron cambios esenciales en el transcurso de varios siglos. Los indivisibles, y más tarde ladiferencial de una función, se representaban como verdaderos infinitésimos, como algo de magnitud constante extremadamente pequeña, que sin embargo no era cero. La definición dada en esta sección es la aceptada en el análisis moderno. De acuerdo con esta definición, la diferencial es una magnitud finita para cada incremento Dx, y al mismo tiempo proporcional a Dx. La otra propiedad fundamental de ladiferencial, el carácter de su diferencia respecto a Dy, sólo puede reconocerse 'en movimiento', por así decirlo: si consideramos un incremento Dx que se aproxima a cero (que sea un infinitésimo), entonces la diferencia entre dy e Dy será tan pequeña como se desee incluso comparada con Dx. La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si estádeterminada una relación matemática entre dos objetos. Ejemplos: Hallar la diferencial para la función y= 3x² Si y= 3x² dy= 6x dx Calcular la diferencial de la función y= 5x³ para x= 2 y Δx= dx = 0.02 y= 5x³ 15x² dx 15(2)² (0.02) dy= 1.2

Interpretación geométrica
Geométricamente, la diferencial representa el incremento de la variable dependiente, pero no hasta la curva, sino hasta latangente:

Interpretación geométrica del diferencial de una función en un punto. El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial. Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre elcateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial. Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por y .

Teoremas sobre diferenciales
En acuerdo a la definición dy = f ’(x0) dx, por lo que el cálculo del diferencial depende esencialmente de la determinación de la derivada, así por ejemplo paray = f(x) = 3x2 – 5x + 2, se tiene que dy = (6x – 5)dx. Supongamos ahora dos funciones u(x) y v(x), luego si y = u(x)v(x), se tiene que:

dy dv du  u ( x)  v( x) dx dx dx

 multiplica ndo por dx resulta : dy  u ( x)dv  v( x)du

Lo cual nos muestra la forma típica de calcular los diferenciales de una función dada, esto es: se deriva la función dada y la expresión resultante se...