Definicion De Integral

Definición de integral
Pero también, integral, resulta ser un concepto fundamental dentro de las matemáticasavanzadas, especialmente en lo que respecta a análisis y cálculo matemático, ya que de esa manera se designa a la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. La integral es la operación inversa respecto de la derivada, tal como la multiplicación lo es de la división. Básicamente,la integral calcula el área debajo de una curva.

En matemáticas, un teorema de existencia es un teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...', o más generalmente 'para todo x, y, ...existe(n) ...'. Esto es, en términos más formales de lógica simbólica, es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es usual en ellenguage matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la función seno es unacontinua, o cualquier teorema escrito en la notación O.
Una controversia que data del temprano siglo XX concierne el tema de teoremas de existencia puros, y la acusación relacionada de que al admitirlos las matemáticas traicionan sus responsabilidades de aplicación concreta (ver demostración no constructiva). Elpunto de vista matemático es que los métodos abstractos tienen un gran alcance, mayor que el del análisis numérico.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.
1)  donde c es una constante
2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientespropiedades son verdaderas:

(se pueden generalizar para más de dos funciones)
3) Si x está definida para x = a entonces     0
4) Si f es integrable en [a, b] entonces   
5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces  | |

Función primitiva o antiderivada
Función primitiva de una función dada f(x), es otra funciónF(x) cuya derivada es la función dada.
F'(x) = f(x)
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continuaintegrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que sevenía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en este punto de la historia ambas ramas convergen, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultandola integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
Primer teorema fundamental del cálculo
Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b],definimos F sobre [a,b] por . Si f es continua en , entonces F es derivable enc y F'(c) = f(c). |
Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:
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Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables

Segundo teorema fundamental del cálculo
También se le llama regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow o regla...