Definicion De La Integral
Páginas: 10 (2351 palabras)
Publicado: 12 de septiembre de 2011
LA INTEGRAL DEFINIDA
ALGO DE HISTORIA Las principales ideas que apuntalan el cálculo se desarrollaron durante un periodo de tiempo muy largo sin duda. Los primeros pasos fueron dados por los matemáticos griegos. Para los antiguos griegos, los números eran cocientes de enteros así que la recta numérica tenía Diagrama de Arquímedes 'hoyos' en ella. Le dieron la vuelta a esta Este es el primerejemplo conocido de suma de dificultad usando longitudes, áreas y una serie infinita. Arquímedes usó el método volúmenes además de números ya que, para exhaustivo para encontrar la aproximación al los griegos, no todas las longitudes eran área de un círculo. Esto, por supuesto, es un números. ejemplo temprano de integración que llevó a Zenón de Elea, alrededor de 450 a. C., planteó valores una seriede problemas que estaban basados aproximados de π.
en el infinito. Leucippo, Demócrito y Antifon En su tratado de 1666, Newton discute el hicieron contribuciones al método exhaustivo problema inverso: encontrar y dada la relación griego al que Eudoxo dio una base científica entre x y y'/x'. Por lo tanto la pendiente de la alrededor de 370 a. C. tangente estaba dada para cada x y cuando El métodose llama exhaustivo ya que y'/x' = ƒ(x) entonces Newton resuelve el considera las áreas medidas como problema mediante la antidiferenciación. expandiéndolas de tal manera que cubran más También calculó áreas mediante este método y y más del área requerida. Sin embargo, su obra contiene el primer enunciado claro del Arquímedes, alrededor de 225 a. C. hizo uno de Teorema las contribuciones griegasmás significativas. Su Fundamental del Cálculo.
primer avance importante fue demostrar que el La obra de Newton sobre Análisis con series área de un segmento de parábola es 4/3 del infinitas fue escrita en 1669 y circuló como área del triángulo con los mismos base y manuscrito. No fue publicada sino hasta 1711. vértice y es igual a paralelogramo
2
/3 del área del Arquímedes
circunscrito.construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, ... El área del segmento de la parábola es, por lo tanto: A(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ...) = (4/3)A.
Riemann (1826-1866) generalizó la definición de integral dada porCauchy. La teoría de la integral de Riemann fue un avance importante pero insuficiente. Hubo que esperar hasta el siglo XX para que Henri Lebesgue (1875-1941) estableciera en su libro Leçons sur l'intégration et la recherché des fonctions primitives (1904) los fundamentos de una teoría satisfactoria de
Isaac Newton
la integración.
Sorprende que, siendo tan antiguos sus orígenes, la primeradefinición matemática de La integración es una de las herramientas más integral no fuera dada hasta el siglo XIX por versátiles del Cálculo, sus aplicaciones no se Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Una limitan a calcular áreas de regiones planas o posible explicación es que, durante los siglos volúmenes de sólidos, también se utiliza para XVII y XVIII, la integración fue considerada calcular longitudesde curvas, centros de masas, como la operación inversa de la derivación; el momentos de inercia, áreas de superficies, para cálculo integral consistía esencialmente en el representar magnitudes físicas como el trabajo, cálculo de primitivas. Naturalmente, se conocía la fuerza ejercida por una presión, o la energía la utilidad de las integrales para calcular áreas y potencial en un campo defuerzas. volúmenes, pero los matemáticos de la época consideraban estas nociones como dadas de forma intuitiva y no vieron la necesidad de precisar su significación matemática. Los trabajos de Joseph Fourier (1768-1830) sobre representación de funciones por series trigonométricas hicieron que el concepto de función evolucionara, desde la idea restrictiva de función como fórmula, hasta la definición...
ALGO DE HISTORIA Las principales ideas que apuntalan el cálculo se desarrollaron durante un periodo de tiempo muy largo sin duda. Los primeros pasos fueron dados por los matemáticos griegos. Para los antiguos griegos, los números eran cocientes de enteros así que la recta numérica tenía Diagrama de Arquímedes 'hoyos' en ella. Le dieron la vuelta a esta Este es el primerejemplo conocido de suma de dificultad usando longitudes, áreas y una serie infinita. Arquímedes usó el método volúmenes además de números ya que, para exhaustivo para encontrar la aproximación al los griegos, no todas las longitudes eran área de un círculo. Esto, por supuesto, es un números. ejemplo temprano de integración que llevó a Zenón de Elea, alrededor de 450 a. C., planteó valores una seriede problemas que estaban basados aproximados de π.
en el infinito. Leucippo, Demócrito y Antifon En su tratado de 1666, Newton discute el hicieron contribuciones al método exhaustivo problema inverso: encontrar y dada la relación griego al que Eudoxo dio una base científica entre x y y'/x'. Por lo tanto la pendiente de la alrededor de 370 a. C. tangente estaba dada para cada x y cuando El métodose llama exhaustivo ya que y'/x' = ƒ(x) entonces Newton resuelve el considera las áreas medidas como problema mediante la antidiferenciación. expandiéndolas de tal manera que cubran más También calculó áreas mediante este método y y más del área requerida. Sin embargo, su obra contiene el primer enunciado claro del Arquímedes, alrededor de 225 a. C. hizo uno de Teorema las contribuciones griegasmás significativas. Su Fundamental del Cálculo.
primer avance importante fue demostrar que el La obra de Newton sobre Análisis con series área de un segmento de parábola es 4/3 del infinitas fue escrita en 1669 y circuló como área del triángulo con los mismos base y manuscrito. No fue publicada sino hasta 1711. vértice y es igual a paralelogramo
2
/3 del área del Arquímedes
circunscrito.construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, ... El área del segmento de la parábola es, por lo tanto: A(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ...) = (4/3)A.
Riemann (1826-1866) generalizó la definición de integral dada porCauchy. La teoría de la integral de Riemann fue un avance importante pero insuficiente. Hubo que esperar hasta el siglo XX para que Henri Lebesgue (1875-1941) estableciera en su libro Leçons sur l'intégration et la recherché des fonctions primitives (1904) los fundamentos de una teoría satisfactoria de
Isaac Newton
la integración.
Sorprende que, siendo tan antiguos sus orígenes, la primeradefinición matemática de La integración es una de las herramientas más integral no fuera dada hasta el siglo XIX por versátiles del Cálculo, sus aplicaciones no se Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Una limitan a calcular áreas de regiones planas o posible explicación es que, durante los siglos volúmenes de sólidos, también se utiliza para XVII y XVIII, la integración fue considerada calcular longitudesde curvas, centros de masas, como la operación inversa de la derivación; el momentos de inercia, áreas de superficies, para cálculo integral consistía esencialmente en el representar magnitudes físicas como el trabajo, cálculo de primitivas. Naturalmente, se conocía la fuerza ejercida por una presión, o la energía la utilidad de las integrales para calcular áreas y potencial en un campo defuerzas. volúmenes, pero los matemáticos de la época consideraban estas nociones como dadas de forma intuitiva y no vieron la necesidad de precisar su significación matemática. Los trabajos de Joseph Fourier (1768-1830) sobre representación de funciones por series trigonométricas hicieron que el concepto de función evolucionara, desde la idea restrictiva de función como fórmula, hasta la definición...
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