Definicion de limite
Páginas: 18 (4396 palabras)
Publicado: 1 de diciembre de 2010
C5
UMA
2004
Unión Matemática Argentina
LIV XXVII XVI
REUNIÓN DE COMUNICACIONES CIENTÍFICAS REUNIÓN DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA ENCUENTRO DE ESTUDIANTES
Un nuevo enfoque de la noción de límite
: Un nuevo enfoque de la noción de limite Docentes a cargo: Omar Faure y Roberto Macías
PROF. OMAR FAURE Y PROF. ROBERTO MACÍAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE Neuquén 11 AL 15 DE OCTUBRE LIV REUNION ANUAL DE LA UMA XXVII REM
Neuquén 2004
Un nuevo enfoque de la noción de límite
O.R. F
FIQ (UNL) I . P E3264BTD C FRCU (UTN) 676 U
R.A. M
FIQ (UNL) G IMAL (CONICET) 3450 F
S3000GLN S
1.
I
Los profesores de cálculo tienen en la enseñanza de la noción de límite una de las pruebas más rigurosas de su capacidad docente. La experiencia muestra que no sólo esdifícil lograr una primera comprensión de la de nición sino que llegar a una relativa con anza en su empleo lleva todo el curso y conseguir una comprensión cabal de esta idea lleva varios años a los aprendices de cálculo. La de nición clásica del límite de una función, como puede ser encontrada en un libro matemáticamente correcto y no pretencioso como el Calculus de S. Salas y E. Hille [5], dice:Límite de una función: Sea f una función de nida al menos en algún conjunto de la forma (c p, c) ∪ (c, c + p) entonces
x→c
lim f (x) = c| < entonces |f (x) |< .
si para cada
> 0 existe un
> 0 tal que si 0 < |x
Indiscutiblemente esto es un verdadero galimatías para una persona que recibe esta información por primera vez. El propósito de estas notas es poner a disposición de losprofesores un método e ciente para la transmisión del concepto de límite. Esta idea no es un resultado original sino que es debida a R. Redheffer [4] y apareció publicada en el Mathematics Magazine en 1989. Los presentes autores experimentaron esta modalidad durante los años 2003 y 2004. En estos ensayos se evidenció que los alumnos fueron capaces de realizar cálculos rápidamente y se sintieron cómodos conel concepto en pocas semanas. En contraposición, el resultado usual de impartir la de nición clásica es que aún los alumnos destacados, que consiguen dominar el concepto, presenten grandes di cultades para ordenar sus ideas como para expresar en forma escrita sus conclusiones. Con la utilización de esta nueva manera de presentar límite la demostración de resultados abstractos se simpli camuchísimo. En cuanto al cálculo directo de límites, se logra mayor simpli cación cuando se procuran resultados negativos, cuando el límite existe, aunque las cuentas son parecidas a las del esquema clásico, el nuevo enfoque produce un ordenamiento de las ideas muy clari cador.
2
O.R. F
, R.A. M
2.
D existe un
L
1. Diremos que una condición C se cumple para x cerca de b si > 0 tal que Cse cumple para los x tales que 0 < |x b| < .
Observemos que decir que la condición C se cumple cerca de b, es equivalente a decir que podemos encontrar un positivo de manera que C se veri ca para todos los x distintos de b que están a una distancia de b menor que .
0
b F 1
b
b+
D
2. Diremos que limx→b f (x) = |f (x)
si para cualquier |< ,
> 0, la condición:
se cumplepara x cerca de b. En particular si el lim f (x) existe se deduce que f (x) esta de nida para x cerca de b. E 3. Sea f (x) = x + 3 y b = 7. Demostrar que
x→7
lim f (x) = 10.
Consideremos un
> 0 dado, se tiene la siguiente cadena de equivalencias | f ( x) 10| < ⇐⇒ ⇐⇒ |x + 3 |x 10| <
7| < .
Entonces, si tomamos = , para todo x que veri que 0 < |x 7| < | f ( x) Es decir la condición|f (x) 10| < se cumple que 10| < .
se cumple cerca de 7.
Esta situación puede ilustrarse grá camente considerando dos rectas numéricas paralelas. En una representamos la variable independiente x y en la otra la función f ( x) .
UN NUEVO ENFOQUE DE LA NOCION DE LIMITE - UMA REM 2004
3
0
7
7
7+
x
f (x) 0 F 2 10 10 10 +
Notemos que para la existencia de limx→b f...
UMA
2004
Unión Matemática Argentina
LIV XXVII XVI
REUNIÓN DE COMUNICACIONES CIENTÍFICAS REUNIÓN DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA ENCUENTRO DE ESTUDIANTES
Un nuevo enfoque de la noción de límite
: Un nuevo enfoque de la noción de limite Docentes a cargo: Omar Faure y Roberto Macías
PROF. OMAR FAURE Y PROF. ROBERTO MACÍAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE Neuquén 11 AL 15 DE OCTUBRE LIV REUNION ANUAL DE LA UMA XXVII REM
Neuquén 2004
Un nuevo enfoque de la noción de límite
O.R. F
FIQ (UNL) I . P E3264BTD C FRCU (UTN) 676 U
R.A. M
FIQ (UNL) G IMAL (CONICET) 3450 F
S3000GLN S
1.
I
Los profesores de cálculo tienen en la enseñanza de la noción de límite una de las pruebas más rigurosas de su capacidad docente. La experiencia muestra que no sólo esdifícil lograr una primera comprensión de la de nición sino que llegar a una relativa con anza en su empleo lleva todo el curso y conseguir una comprensión cabal de esta idea lleva varios años a los aprendices de cálculo. La de nición clásica del límite de una función, como puede ser encontrada en un libro matemáticamente correcto y no pretencioso como el Calculus de S. Salas y E. Hille [5], dice:Límite de una función: Sea f una función de nida al menos en algún conjunto de la forma (c p, c) ∪ (c, c + p) entonces
x→c
lim f (x) = c| < entonces |f (x) |< .
si para cada
> 0 existe un
> 0 tal que si 0 < |x
Indiscutiblemente esto es un verdadero galimatías para una persona que recibe esta información por primera vez. El propósito de estas notas es poner a disposición de losprofesores un método e ciente para la transmisión del concepto de límite. Esta idea no es un resultado original sino que es debida a R. Redheffer [4] y apareció publicada en el Mathematics Magazine en 1989. Los presentes autores experimentaron esta modalidad durante los años 2003 y 2004. En estos ensayos se evidenció que los alumnos fueron capaces de realizar cálculos rápidamente y se sintieron cómodos conel concepto en pocas semanas. En contraposición, el resultado usual de impartir la de nición clásica es que aún los alumnos destacados, que consiguen dominar el concepto, presenten grandes di cultades para ordenar sus ideas como para expresar en forma escrita sus conclusiones. Con la utilización de esta nueva manera de presentar límite la demostración de resultados abstractos se simpli camuchísimo. En cuanto al cálculo directo de límites, se logra mayor simpli cación cuando se procuran resultados negativos, cuando el límite existe, aunque las cuentas son parecidas a las del esquema clásico, el nuevo enfoque produce un ordenamiento de las ideas muy clari cador.
2
O.R. F
, R.A. M
2.
D existe un
L
1. Diremos que una condición C se cumple para x cerca de b si > 0 tal que Cse cumple para los x tales que 0 < |x b| < .
Observemos que decir que la condición C se cumple cerca de b, es equivalente a decir que podemos encontrar un positivo de manera que C se veri ca para todos los x distintos de b que están a una distancia de b menor que .
0
b F 1
b
b+
D
2. Diremos que limx→b f (x) = |f (x)
si para cualquier |< ,
> 0, la condición:
se cumplepara x cerca de b. En particular si el lim f (x) existe se deduce que f (x) esta de nida para x cerca de b. E 3. Sea f (x) = x + 3 y b = 7. Demostrar que
x→7
lim f (x) = 10.
Consideremos un
> 0 dado, se tiene la siguiente cadena de equivalencias | f ( x) 10| < ⇐⇒ ⇐⇒ |x + 3 |x 10| <
7| < .
Entonces, si tomamos = , para todo x que veri que 0 < |x 7| < | f ( x) Es decir la condición|f (x) 10| < se cumple que 10| < .
se cumple cerca de 7.
Esta situación puede ilustrarse grá camente considerando dos rectas numéricas paralelas. En una representamos la variable independiente x y en la otra la función f ( x) .
UN NUEVO ENFOQUE DE LA NOCION DE LIMITE - UMA REM 2004
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7
7
7+
x
f (x) 0 F 2 10 10 10 +
Notemos que para la existencia de limx→b f...
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