Definicion De Limite

3.1 Definición de límite de una función.

Idea Intuitiva

Considérese la ecuación
y=fx=2x2+x-1

Un bosquejo de la gráfica de la función está representado en la Figura 1, la gráfica de lafunción contiene al punto P(1, 2)

Figura 1
y=2x2+x-1

Las figuras 2 y 3 muestran una parte de la gráfica de y=2x2+x-1 y la recta secante que pasa por los puntos P y Q, donde Qesta cerca de P

En la figura 2, la coordenada x del punto Q es menor que 1, y
En la figura 3, la coordenada x del punto Q es mayor que 1

Suponiendo que f(x) es la pendiente de la rectasecante PQ, se tiene

mPQ=fx=2x2+x-1-2x-1=2x2+x-3x-1

1 fx=2x2+x-3x-1

Consideremos a 1 como una función, cuyo dominio es R-[1]

Mientras que x se aproximacada vez más a 1, los valores de f(x) se aproximaran cada vez más a un número que se define como la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P

Si fx=2x2+x-3x-1 y si x toma lossiguientes valores

x | f(x) | | x | f(x) |
0 | 3 | | 2 | 7 |
0.25 | 3.5 | | 1.75 | 6.5 |
0.5 | 4 | | 1.5 | 6 |
0.75 | 4.5 | | 1.25 | 5.5 |
0.9 | 4.8 | | 1.1 | 5.2 |
0.99 | 4.98 | |1.01 | 5.02 |
0.999 | 4.998 | | 1.001 | 5.002 |
0.9999 | 4.9998 | | 1.0001 | 5.0002 |
0.99999 | 4.99998 | | 1.00001 | 5.00002 |
Valores de x próximos a 1 pero menores que 1 (x<1) estoes x→1 | | | Valores de x próximos a 1 pero mayores que 1 (x>1) esto es x→1 | |
De acuerdo a los valores de las tablas anteriores podemos decir de manera intuitiva que el límite de f(x) es 5cuando x se aproxima a 1, expresión que se escribe como

limx→1fx=limx→12x2+x-3x-1=5

Se puede observar en ambas tablas que mientras x está más próximo a 1, f(x) está más próximo a 5. Por ejemplo,cuando x difiere de 1 en ±0.001 x=0.999 o x=1.001, f(x) difiere de 5 en ±0.002 fx=4.998 o fx=5.002
Usando los valores (de la función) obtenidos en las tablas, se llega a las siguientes...