Definicion De Matriz




Matriz cuadrada
Una matriz de n por m elementos, es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número columnas, es decir, n = m y se dice, entonces que la matriz es de orden n:

Las matrices cuadradas son las más utilizadas en algebra
Toda matriz cuadrada se puede descomponer en la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica
Si A y B son matrices del mismo orden,entonces se pueden sumar entre sí. Los productos de matrices son válidos en ambos sentidos, AB y BA. Además, surgen los conceptos de determinante y traza solo aplicables a matrices cuadradas.
Una matriz cuadrada A de orden n es singular si su determinante es nulo. En tal caso se dice que dicha matriz no tiene inversa.
Ejemplo
Ejemplo de matriz cuadrada para n = 3:

Matriz rectangular
La matrizrectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.




Matriz triangular
En álgebra lineal, una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matrices triangulares sonutilizadas en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas y determinantes de matrices. El método de descomposición LU permite descomponer cualquier matriz invertible como producto de una matriz triangular inferior L y una superior U.
Propiedades de las matrices triangulares
Una matriz triangular superior e inferior siempre diagonaliza en una base de vectorespropios(matriz diagonal).
El producto de dos matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior).
La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior y viceversa.
El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal.
Una matriz triangular es invertible si y solo si todos los elementos de la diagonalson no nulos. En este caso, la inversa de una matriz triangular superior (inferior) es otra matriz superior (inferior).
Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de la diagonal principal.
Ejemplos

Esta matriz es triangular superior.

Esta matriz es triangular inferior.
Matriz diagonal
En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todasnulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si:


Ejemplo:

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal
Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad
Matriz identidad o Unidad
Como el producto de matrices sólo tiene sentido sisus dimensiones son compatibles, existen infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones. , la matriz identidad de tamaño , se define como la matriz diagonal que tiene valor 1 en cada una de las entradas de la diagonal principal, y 0 en el resto. Así,

Empleando la notación que a veces se usa para describir concisamente las matrices diagonales, resulta:

Si el tamaño es inmaterial, ose puede deducir de forma trivial por el contexto, entonces se escribe simplemente como .
También se puede escribir usando la notación delta de Kronecker:

o, de forma aún más sencilla,

La matriz identidad de orden n puede ser también considerada como la matriz permutación que es elemento neutro del grupo de matrices de permutación de orden n!.


Matriz simétrica
Una matriz es simétrica si es unamatriz cuadrada, la cual tiene la característica de ser igual a su traspuesta.
Una matriz de elementos:

es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y para todo i, j con i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal.
Ejemplo para n = 3:

A es también la matriz traspuesta de sí misma: . Esta última igualdad es una definición alternativa de matriz simétrica....