Definicion de serie

Definición de serie geométrica:
La serie dada por : ðoon=0 arn= a + ar + ar2 + ......... +arn +...., a diferente de 0, es llamada serie geométrica de razón r, el siguiente teorema da las condiciones para que sea convergente o divergente:
Convergencia de una serie geométrica : Una serie geométrica de razón r diverge si [r] mayor o igual a 1 . Si 0 es menor que [r] y menor que 1,entonces la serieconverge con la suma:
ðoon=0 arn = a/ (1-r) , 0 menor que [r] menor que 1
Ejemplos de Series Geométricas:
 La serie Geométrica:
ðoon=0 3/2n = ðoon=0 3(1/2)2 = 3(1) + 3(1/2) + 3(1/2)2 +….
Tiene razón r = ½ con a= 3 como 0 es menor que [r]y es menor que 1 la serie converge a :
a/1-r = 3/1-(1/2) = 6
 La serie geométrica :
ðoon=0 (3/2)n = 1 +3/2 + 9/4 + 27/8 +…..
Tiene razón r = 3/2,como [r] es mayor que 1 , la serie diverge
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Serie armónica (matemática)
Para el concepto musical relacionado con éste, véase serie armónica (música).
En matemáticas, se define la serie armónica como la siguiente serie infinita:

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Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitudsegún la serie 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...

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Propiedades
Divergencia de la serie armónica
La serie armónica es divergente, aunque diverge lentamente (los primeros 1043 términos de la serie suman menos de 100). Esto se puede demostrar haciendo ver que la serie armónica es mayor, término por término, que esta otra serie:

que está claro quediverge. (Esto es bastante riguroso ya que los mismos términos se agrupan de la misma manera). Esta prueba, dada por Nicolás Oresme, fue un gran paso para las matemáticas medievales. De hecho, es la prueba que se suele enseñar a los estudiantes, ya que es bastante elemental.
Otras series, como la suma de los inversos de los números primos diverge, aunque esto ya es más difícil de demostrarConvergencia de la serie armónica alternada
La serie armónica alternada, sin embargo, converge:

Ésta es una consecuencia de la serie de Taylor del logaritmo natural.
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Serie armónica parcial
[editar]Representación
Si definimos el n-ésimo número armónico como:

entonces Hn crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n. Esto esasí porque la suma se aproxima a la integral

cuyo valor es log(n).
Con más precisión, tenemos el límite:

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.
Se puede demostrar que:
1. El único Hn que es entero es H1.
2. La diferencia Hm - Hn donde m>n nunca es entera.
Entre las representaciones para Hn, en las que n puede ser un número fraccionario o negativo(no entero) están:dada1 por Leonhard Euler. Y también

donde Ψ(n+1) es la función digamma y γ es la constante de Euler-Mascheroni.
Conexión con la hipótesis de Riemann
Jeffrey Lagarias demostró en 2001 que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación:

donde σ(n) es la suma de los divisores positivos de n.

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Serie armónica generalizada
Las seriesarmónicas generalizadas se definen de la siguiente forma:

Como principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.
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[editar]p-series
La p-serie es (cualquiera de) las series

para p número real positivo. La serie es convergente si p > 1 y divergente en otro caso. Cuando p = 1, la serie es la serie armónica. Si p > 1, entonces la sumade la serie es ζ(p), es decir, la función zeta de Riemann evaluada en p.
Esto se puede utilizar para comprobar la convergencia de series.

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Criterios de convergencia comparativos
Son aplicables en caso de disponer de otra serie  tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la serie geométrica con razón (en valor absoluto)...