Definicion de series de fourier
Páginas: 2 (314 palabras)
Publicado: 16 de mayo de 2011
Definición de serie de Fourier
Sea f(x) es una función compleja (i es la unidad imaginaria) periódica con período 2π, valuada en dominio de los números reales, y es cuadrado-integrablesobre el intervalo -π a π:
[pic]
Entonces la representación en serie de Fourier de f(x) viene dada por:
[pic]
Por la identidad de Euler (ei n x= cos(nx)+i sin(nx))
Esto esequivalente a representar f(x) como una combinación lineal infinita de funciones de la forma cos(nx) y sin(nx); es decir:
[pic]donde an y bn se denominan coeficientes de Fourier:[pic]
Estos coeficientes tienen la propiedad de tender a 0 cuando la cantidad de armónicas aumenta:
[pic]
[editar]
Convergencia de series de Fourier
Mientras que esoscoeficientes an y bn pueden ser definidos formalmente para cualquier función para la cual las integrales tengan sentido, el que las series que quedan así definidas converjan realmente a f(x)depende de las propiedades de f.
Una respuesta parcial es que si f es cuadrado-integrable entonces
[pic]
(o sea, convergencia en norma en el espacio L2).
Esto se demostró en el sigloXIX, así como el hecho de que si f es continua a trozos entonces la serie converge en cada punto de continuidad. Quizás sorprendentemente, no se demostró hasta los años 1960 que si f escuadráticamente integrable entonces la serie converge para cada valor de x excepto aquellos en algún conjunto de medida cero.
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Algunas consecuencias positivas de las propiedades dehomomorfismo de exp
Debido a que las "funciones base" eikx son homomorfismos de la línea real (más concretamente, del "grupo del círculo") tenemos ciertas identidades útiles:
1. Si g(x) =f(x − y) entonces [pic]
2. La transformada de Fourier es un morfismo: [pic]-- esto es, la transformada de Fourier de una convolución es el producto de las transformadas de Fourier.
Sea f(x) es una función compleja (i es la unidad imaginaria) periódica con período 2π, valuada en dominio de los números reales, y es cuadrado-integrablesobre el intervalo -π a π:
[pic]
Entonces la representación en serie de Fourier de f(x) viene dada por:
[pic]
Por la identidad de Euler (ei n x= cos(nx)+i sin(nx))
Esto esequivalente a representar f(x) como una combinación lineal infinita de funciones de la forma cos(nx) y sin(nx); es decir:
[pic]donde an y bn se denominan coeficientes de Fourier:[pic]
Estos coeficientes tienen la propiedad de tender a 0 cuando la cantidad de armónicas aumenta:
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Convergencia de series de Fourier
Mientras que esoscoeficientes an y bn pueden ser definidos formalmente para cualquier función para la cual las integrales tengan sentido, el que las series que quedan así definidas converjan realmente a f(x)depende de las propiedades de f.
Una respuesta parcial es que si f es cuadrado-integrable entonces
[pic]
(o sea, convergencia en norma en el espacio L2).
Esto se demostró en el sigloXIX, así como el hecho de que si f es continua a trozos entonces la serie converge en cada punto de continuidad. Quizás sorprendentemente, no se demostró hasta los años 1960 que si f escuadráticamente integrable entonces la serie converge para cada valor de x excepto aquellos en algún conjunto de medida cero.
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Algunas consecuencias positivas de las propiedades dehomomorfismo de exp
Debido a que las "funciones base" eikx son homomorfismos de la línea real (más concretamente, del "grupo del círculo") tenemos ciertas identidades útiles:
1. Si g(x) =f(x − y) entonces [pic]
2. La transformada de Fourier es un morfismo: [pic]-- esto es, la transformada de Fourier de una convolución es el producto de las transformadas de Fourier.
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