Definicion_Derivada





Derivada

Consideremos la tangente a la curva f(x) en el punto P(a,f(a)).

¿Cómo se obtiene el ángulo α entre la tangente y el eje x positivo?

El conocimiento de los valores a y f(a)no basta para determinarlo, puesto que hay un número infinito de rectas, aparte de la tangente, que pasan por P.
Tampoco es necesario conocer la función f(x) en su comportamiento global; elconocimiento de la función en una vecindad arbitraria del punto P debe ser suficiente para determinar α. Esto indica que se debería definir la dirección de la tangente a una curva f(x) mediante un proceso delímite.

Consideremos un segundo punto P'(x, f(x)) sobre la curva, cercano a P.
Por los dos puntos P y P' se traza una línea recta.
Si el punto P' se mueve a lo largo de la curva hacia el punto P,entonces la recta PP' se aproxima a la tangente.

Sea α' el ángulo que la recta PP' forma con el eje x positivo.
Entonces Considerando las coordenadas de los puntos P y P', se tiene:f(x) - f(a) cateto opuesto
tan α' = ----------- ( ---------------- )
x - a cateto adyacente
Así, nuestro proceso de límite está representado porla ecuación:
f(x) - f(a)
tan α = lim tan α' = lim -----------
x->a x->a x - a
A este límite se lo denomina derivada de la función f(x) en el punto a yse denota f'(a)
Definición
Derivada en el punto a
Se llama derivada de f(x) en x=a, y se denota f'(a) a:
f(x) - f(a)
f'(a) = lim -----------
x->a x - a
Función derivadaLa derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada valor de x.
Teorema
Si una función es derivable, entonces es continua.

Hipótesis: f es derivable en x=a.Tésis: f es continua en x=a.

Fuente: http://matematica.50webs.com/derivada.html



1º.- Definición de derivada
La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es...