Definicion formal de limite

INDICE
CONTENIDO PÁG

Objetivo general ----------------------------------------------------------------------------- 2

Objetivos específicos ----------------------------------------------------------------------- 2

Introducción ----------------------------------------------------------------------------------- 3

Limites definición formal------------------------------------------------------------------- 4
Limite de Funciones ------------------------------------------------------------------------ 8
Conclusion ------------------------------------------------------------------------------------ 17
Bibliografia ------------------------------------------------------------------------------------- 18

OBJETIVO GENERAL:

• Conocer ladefinición de límite, sus tipos y métodos o pasos a seguir para su posible obtención.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

• Analizar la definición de límites.

• Conocer los métodos para obtención del límite de un valor.

• Saber los tipos de límites que existen y su forma de obtención.

• Realizar ejercicios para la aplicación de los métodos.

INTRODUCCION

En matemática, el límite esun concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Pero no podemos decir que el límite es un ciertovalor sólo porque parezca que vamos hacia él. Nos hace falta una definición más formal. Así que vamos a empezar por la idea general

LIMITES DEFINICIÓN FORMAL
Funciones en espacios métricos

[pic]
El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a p será L si y solo sí para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo número real x en 0 < |x - p| < δ, tenemos que |f(x) - L| < ε
Elsiguiente concepto de límite es el de la definición formal, la cual no es muy aprensible para el común de la gente. Dicha formulación matemática es más conocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de límite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el comportamiento de una función alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamientoprecisamente en dicho punto.
Supóngase f : (M, dM) -> (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en p es L" y escribimos
[pic]
si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, p) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.
En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = a es L si secumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda x:
si [pic], entonces [pic]
Observemos que la solución de la desigualdad 0 < | x - a | < δ es la siguiente:
x pertenece a la vecindad ( a - δ , a ) U ( a, a + δ ): x no toca el valor de a, pues
0 < | x - a | implica x distinto de a,
mientras que la solución de | f (x) - L | < ε es la siguiente:
y pertenece alintervalo ( L - ε , L + ε ).
Esto proporciona la clave de la comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de la x está en la vecindad horizontal alrededor del punto "a" y agujereada en "a" con radio delta y centro "a", aun cuando en ese punto "a" no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(a) y radio épsilon.
Notación de límite
Límite de una funciónen un punto
Sea f una función real, entonces
[pic]([pic])
si y sólo si
para todo [pic]existe un δ > 0 tal que para todo número real x en el dominio de la función
[pic]
Notación formal: [pic]
Indeterminaciones
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos:
[pic]
* Nota: [pic]se refiere al límite que tiende infinito y [pic]al límite cuando tiende 0 (no al número...