Definicion y origen de los numeros complejos
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Publicado: 2 de febrero de 2012
1. Definición y origen de los números complejos
Con el conjunto de los números aprendidos hasta ahora, el de los Reales, nos arreglamos para encontrar solución a muchísimas operaciones, así por ejemplo: En esta ecuación 3(x = -7 el valor de x es el número real –7/3
Inclusive para x2 – 7 = 0 cuyo resultado, el valor de x, es el número irracional cuyo cuadrado es 7.
Pero la cosa sepone distinta frente a una situación así:
x2 = - 4
Sabemos que [pic]
Así decimos que, [pic] no tiene solución en el campo de los Números Reales!!
La imposibilidad de resolver situaciones como éstas, crea nuevamente la necesidad de extender el concepto de número, dando origen a la ampliación del conjunto de los números reales, mediante la introducción delos Números Complejos (C).
Definimos al Número Complejo como aquel Ente Numérico compuesto por un par ordenado (a ; b) de números reales.
En el cual el número a se llama componente real y al número b componente imaginaria. ( a ; b ) ( C ( Ojo! Siendo a ( b ( 0
Entre los distintos pares ordenados que llamaremos números complejos, se definen las operaciones de adicióny multiplicación. (Que se verá posteriormente)
Los números complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos.
Algo parecido les ocurrió a los pitagóricos al intentar medir la diagonal de un cuadrado de lado 1, se dieron cuenta que no había ningún número (sólo conocían los números naturales y fraccionarios) que midiese ladiagonal. Esto dio origen a los números reales.
Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representar como puntos de una recta (la recta de los números reales).
Los números complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de los números complejos). En ese plano podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntosdel plano.
Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto ( x, y ). Cuando representamos un número complejo de esta forma decimos que está en forma cartesiana.
FORMA PAR ORDENADO DE UN NUMERO COMPLEJO:
El complejo a + bi se puede representar como ( a ; b ) .
También se suele utilizar un vector para localizar el punto.
En efecto, un vector con principio en el origen de coordenadasy fin en el punto, identifica el punto de una manera inequívoca.
Ahora bien, ese vector lo podemos descomponer en dos vectores: un vector con principio en el origen de coordenadas y fin el valor de la abscisa del punto ( x, y ), y otro vector con principio el origen de coordenadas y fin la ordenada del punto ( x, y ).
Entonces el punto se representaría como una suma de vectores a + b. Ahorabien, si definimos unos vectores unitarios sobre el eje X y sobre el eje Y, podemos representar el número de esta forma xr + yi. Los vectores r e i tienen módulo 1, además el vector i se define cumpliendo esta condición: i2 = -1. Cómo r tiene módulo 1 y sus potencias también son 1, no se escribe, quedando por lo tanto el número en la forma x + yi. Esta forma de representar un número complejo sellama forma binaria.
b r
(
a
( Representación Gráfica de los Números Complejos
Fijado en el plano un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, los números complejos pueden representarse mediante puntos de ese plano, haciendo corresponder a cada número complejo, un punto en el plano.
Pero sabemos que un número complejo puedeadoptar también la forma binómica, entonces el complejo [pic] le corresponde [pic]
Y esta forma, la binómica, también tiene su representación gráfica.
Recordemos que existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de los números complejos, y los puntos del plano.
Pero ahora nuestro criterio de representación del número complejo para su forma binómica es el siguiente:
( El...
Con el conjunto de los números aprendidos hasta ahora, el de los Reales, nos arreglamos para encontrar solución a muchísimas operaciones, así por ejemplo: En esta ecuación 3(x = -7 el valor de x es el número real –7/3
Inclusive para x2 – 7 = 0 cuyo resultado, el valor de x, es el número irracional cuyo cuadrado es 7.
Pero la cosa sepone distinta frente a una situación así:
x2 = - 4
Sabemos que [pic]
Así decimos que, [pic] no tiene solución en el campo de los Números Reales!!
La imposibilidad de resolver situaciones como éstas, crea nuevamente la necesidad de extender el concepto de número, dando origen a la ampliación del conjunto de los números reales, mediante la introducción delos Números Complejos (C).
Definimos al Número Complejo como aquel Ente Numérico compuesto por un par ordenado (a ; b) de números reales.
En el cual el número a se llama componente real y al número b componente imaginaria. ( a ; b ) ( C ( Ojo! Siendo a ( b ( 0
Entre los distintos pares ordenados que llamaremos números complejos, se definen las operaciones de adicióny multiplicación. (Que se verá posteriormente)
Los números complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos.
Algo parecido les ocurrió a los pitagóricos al intentar medir la diagonal de un cuadrado de lado 1, se dieron cuenta que no había ningún número (sólo conocían los números naturales y fraccionarios) que midiese ladiagonal. Esto dio origen a los números reales.
Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representar como puntos de una recta (la recta de los números reales).
Los números complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de los números complejos). En ese plano podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntosdel plano.
Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto ( x, y ). Cuando representamos un número complejo de esta forma decimos que está en forma cartesiana.
FORMA PAR ORDENADO DE UN NUMERO COMPLEJO:
El complejo a + bi se puede representar como ( a ; b ) .
También se suele utilizar un vector para localizar el punto.
En efecto, un vector con principio en el origen de coordenadasy fin en el punto, identifica el punto de una manera inequívoca.
Ahora bien, ese vector lo podemos descomponer en dos vectores: un vector con principio en el origen de coordenadas y fin el valor de la abscisa del punto ( x, y ), y otro vector con principio el origen de coordenadas y fin la ordenada del punto ( x, y ).
Entonces el punto se representaría como una suma de vectores a + b. Ahorabien, si definimos unos vectores unitarios sobre el eje X y sobre el eje Y, podemos representar el número de esta forma xr + yi. Los vectores r e i tienen módulo 1, además el vector i se define cumpliendo esta condición: i2 = -1. Cómo r tiene módulo 1 y sus potencias también son 1, no se escribe, quedando por lo tanto el número en la forma x + yi. Esta forma de representar un número complejo sellama forma binaria.
b r
(
a
( Representación Gráfica de los Números Complejos
Fijado en el plano un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, los números complejos pueden representarse mediante puntos de ese plano, haciendo corresponder a cada número complejo, un punto en el plano.
Pero sabemos que un número complejo puedeadoptar también la forma binómica, entonces el complejo [pic] le corresponde [pic]
Y esta forma, la binómica, también tiene su representación gráfica.
Recordemos que existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de los números complejos, y los puntos del plano.
Pero ahora nuestro criterio de representación del número complejo para su forma binómica es el siguiente:
( El...
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