Definición de la transformada de laplace

Unidad III:
Transformada de Laplace.

R
C

ʆ

F(s)
F(t)

ʆ-1

ʆ: R→C
s=σ+iw
ʆ-1:C→R

3.1.-Definición de la Transformada

Sea f una función definida para t≥0, la transformada de Laplace de f(t) se define como:

que estará definida en aquellos valores de s para los que la integral es convergente. La transformada de Laplace de f(t) se representa por F(s) y se indicará F = L(f).Inversamente, llamaremos transformada inversa de Laplace de F(s) a cualquier función f(t), 0 · t < 1, tal que L(f) = F, y se indicará f = L¡1(F).
3.2.-Codiciones suficientes para que exista la trasformada de Laplace.

La integral que define la transformada de Laplace no converge necesariamente. Por ejemplo, L [1/t] ni L [et2] existen. Las condiciones suficientes que garantizan la existenciade Lf(t) son que f sea continua por tramos y que sea de orden exponencial.

Continuidad por tramos:

Una función f se dice que es continua por tramos en un intervalo [a, b] si f es continua en cada punto del intervalo salvo posiblemente en un numero finito de puntos en los que hay discontinuidad de saltos, es decir, en cada uno de los puntos existentes los limites laterales pero son distintos.Una función f se dice continua por tramos en [0, +∞) si f es continua por tramos en [0, b] para toda b>0.

Orden exponencial:

Se dice que una función f es de orden exponencial si existe una constante ∝ y constantes positivas t0 y M tales que:
f(t)≤Me∝t
Para toda t>t0.

Ejemplos:

ft=cost

Existe la transformada de Laplace.
e∝tft=t

e∝tExiste la transformada de Laplace.

La función definida por ft=et2 no es de orden exponencial ya que, como se muestra en la siguiente figura, su grafica crece más rápidamente que cualquier e∝t para ∝>0.

ft=et2

et2 e∝t
No existe la transformada de Laplace.

Obsérvese tambiénque la función et2 no es de orden exponencial ya que
limt→+∞et2e∝t=limt→+∞ett-∝=+∞
Para cualquier ∝∈R.

Teorema de existencia:

Se han definido los dos conceptos anteriores, continuidad por tramos y orden exponencial de una función, persiguiendo la convergencia de la integral que define la transformada de Laplace. Para una función f la continuidad por tramos asegura su integración y elorden exponencial indica que su producto por e-st está acotado. Estas dos condiciones son fundamentales para que exista la transformada de Laplace de una función.

3.3.-transformadas de Laplace de funciones básicas.

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Potencian-ésima

Con n=1,2,3…
Seno

Coseno

Seno hiperbólico

Coseno hiperbólico

Exponencial
Leat=1s-a
Le-at=1s+a
Logaritmo natural

Raíz n-ésima

Ejemplos:

1.- Lt4= 4!s5=24s5

2.- Lt6= 6!s7=720s7

3.-Lsin6t= 6s2+36

4.-Lcos4t= ss2+16

5.-Lsenh5t= 5s2-25

6.-Lcosh2t= ss2-4

7.-Le15t= 1s-15

8.-Le-45t= 1s+45

3.4.-Transformadas de Laplace de funcionesdefinidas por tramos
Una ventaja de este tipo de transformaciones es que pueden aplicarse a funciones que son muy comunes dentro de la física-matemática a las cuales se conoce como funciones trozos, las cuales trataremos a continuación.

Se dice que una función f (t) definida en (a, b), tiene una discontinuidad de salto en t0 ∈ (a, b) si f (t) es discontinua en t0 y los límites por la derecha y por laizquierda de f(t) existen y son finitos.

Si consideramos la función:

cuya gráfica es como sigue

Esta función tiene una discontinuidad de salto en t0 = 2 ya que

El siguiente ejemplo nos ilustra como se calcula la transformada de Laplace de una función continua a trozos:

Considere la función

Utilizando la definición

y como k (t) está definida a trozos

Evaluando el límite...