Definición

Definición
Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente existe a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función. Imagina que tienes la función y = f(x). Tú le das un valor (x) y ella te devuelve otro (f(x)). Una buena idea sería encontrar una función que cuando le demos el valor f(x) nos devolviera x, esdecir, una máquina que haga la transformación inversa de f(x). En otras palabras, queremos encontrar una función que deshace la transformación que ocasiona la función f sobre los números que le damos.
Función inversa Sea f una función con dominio Xf y contradominio Yf . Si existe una función g con dominio Xg y contradominio Yg tal que: i. f(g(x)) = x para toda x ∈ Xg ii. g(f(x)) = x para toda x ∈ Xfentonces decimos que las funciones f y g son inversas una de la otra. f −1 denota la función inversa de f .
En otras palabras, si intercambiamos las coordenadas de los pares formados por (x, f(x)) obtenemos (f(x), x), que no son sino los puntos de la función inversa f −1 . Es decir, el dominio de f es el contradominio de f −1 y el contradominio de f es el dominio de f −1 . Importante1 : f −1 (x)no significa 1 f(x) . f −1 (x) 6= 1 f(x) Pero (f(x)) −1 = 1 f(x) Utilizando el diagrama de función, podemos explicar el nuevo concepto: x X y Y f Función f −1 Inversa Dominio Contradominio Valores que le damos a la función Valores que nos devuelve la función No todas las funciones tienen función inversa. Esto se debe a la definición de función. Para que una relación sea considerada función, paracada elemento del dominio le debe corresponder a lo más un elemento del contradominio. Si una función debe tener función inversa, a cada elemento del contradominio le debe corresponder a lo más un elemento del dominio (por definición de función inversa). En otras palabras, para cada elemento del dominio de f le corresponde un elemento de su contradominio y viceversa.
Esto implica que para dosvalores a, b distintos, entonces f(a) 6= f(b). En otras palabras solamente para las funciones «uno a uno» podemos calcular su función inversa. Ya se había mencionado en la sección anterior que si la función f es uno a uno (inyectiva), entonces cumple con: Si a 6= b, entonces f(a) 6= f(b) y además, si g es la inversa de f , entonces, g(f(a)) = a y g(f(b)) = b, por lo que si f(a) = f(b), se sigue que a =b. Lo anterior nos indica que:
Teorema 1
Si la funcion f tiene inversa, entonces, para cualesquiera dos elementos a, b en el dominio de f que cumplen a 6= b, se tiene que f(a) 6= f(b). En otras palabras, si una función tiene inversa, entonces es uno a uno y viceversa, si una función es uno a uno, entonces tiene inversa. Si y0 está en el contradominio de la función f , entonces este valor tieneasociado un único valor x0 a partir del cual se le calculó usando f . Es decir, y0 = f(x0). Si definimos la función g que toma como su dominio al contradominio de f y asignamos al contradominio de g los elementos del dominio de f , estamos diciendo que g es la función inversa de f . Tanto f como g son funciones (una inversa de la otra) porque cumplen con la condición de que «a cada elemento deldominio le corresponde a lo más un elemento del contradominio», impuesto por la definición de función.



Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:
El dominio de f−1 es el recorrido de f.
El recorrido de f−1 es el dominio de f.
Si queremos hallar elrecorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.
(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = x
Las gráficas de f y f-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, .
Cálculo de la función inversa
1.Se escribe...