deflexion de vigas





Contenido


Introducción


Las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales dentro de la ingeniería son varias, y dentro de la ingeniería civil tenemos varias ramas de trabajos como son: la del trabajo de puentes, la creación de presas, calles, casas etc. Elaboraremos un trabajo sobre vigas de acero de donde tenemos un buen concepto del uso de las ecuaciones diferenciales.
¿Cómose pueden aplicar las ecuaciones diferenciales para realizar una deflexión de vigas?


Marco teórico

Viga: es un elemento estructural lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal.
Deflexión de viga: Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, siendo ésta barras prismáticas ylargas que están diseñadas para soportar cargas aplicadas en varios puntos a lo largo de ellas.
No obstante, debido a la distribución de las cargas o fuerzas a las que se encuentran sometidas y la manera en que están apoyadas, las vigas se pueden desviar o distorsionar por acción de su propio peso, la influencia de cargas externas o una combinación de ambas. Esta desviación se conoce como deflexión yse puede determinar por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden, relativamente sencilla.
Supongamos que una viga L es homogénea y tiene secciones transversales uniforme a lo largo de su longitud. En ausencia de carga en la viga, una curva que une los centroides de todas las secciones transversales es una recta conocida como eje de simetría.
Si se aplica una carga a la viga en un planovertical que contiene al eje de simetría, la viga experimenta una distorsión y la curva que conecta los centroides de las secciones transversales se llama curva de deflexión o curva elástica.

La curva de deflexión se aproxima a la forma de una viga. Suponga que el eje x coincide con el eje de simetría y que la deflexión y(x), medida desde este eje, es positivasi es hacia abajo.


En la teoría de elasticidad se muestra el momento de flexión M(x) en un punto x a lo largo de la viga se relaciona con la carga por unidad w(x) mediante la ecuación:

= w(x). ~ (1)
El momento de flexión M(x) es proporcional a la curvatura k de la curva elástica
M(x) = EIk, ~ (2)
Donde:
E: es el modulo de Young de elasticidaddel material de la viga;
I: es el momento de inercia de una sección transversal de la viga (respecto a un eje conocido como el eje neutro).

El producto EI se llama rapidez flexional de una viga.
Por otra parte sabemos por matemática que el radio de curvatura de una curva esta dada por
k = y''/ cuando la deflexión y(x) es pequeña, la pendiente y' ≈ 0, por tanto
≈ 1. Si se permite que k ≈y'', la ecuación se convierte en M = EI (y''). La segunda derivada de esta última expresión es
~ (3)
Si se utiliza el resultado en (1) para remplazar en (3), se ve la deflexión y(x) satisface la ecuación diferencial de cuarto orden.

~ (4)
Las condiciones de frontera asociadas en la ecuación (4) dependen de como estén apoyados los extremos de la viga. Una viga en voladizo estáempotrada o fija en un extremo y libre en el otro. Para una viga en voladiza y(x) debe satisfacer la siguiente dos condiciones en el extremo fijo x = 0:

y(0) = 0, porque no hay flexión.
y'(0) = 0, porque la curva de deflexión es tangente al eje x, (en otras palabras, la pendiente de la curva de deflexión es cero en este punto).


Para el extremo libre en x = L
y''(L) = 0 porque el momentoflexionante es cero.
y'''(L) =0 porque la fuerza cortante es cero.

Se le llama fuerza de corte si un extremo de la viga que está apoyado simplemente o abisagrado, entonces se debe tener y = 0 y y'' =0 en ese extremo.
Caso práctico

Una viga de longitud L está empotrada en ambos extremos. Determine la desviación de esa viga si sostiene una carga constante , uniformemente distribuida en su...