deformaciones

Circulo de Mohr para esfuerzo plano

Las ecuaciones de transformación para esfuerzo plano pueden representarse mediante una gráfica como circulo de Mohr. Esta representación es extremadamente útil para apreciar las relaciones entre los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre ciertos planos inclinados en un punto del cuerpo esforzado. Para determinar el círculo de Mohr, reformulamos lasecuaciones:

σx1- (σx+σy)/2=(σx-σy)/2 2θ+Txy 2 (2-1)

Tx1y1= (σx+σy)/2 2θ+Txy 2 (2-2)
Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de un círculo, con el ángulo 2 como parámetro. Al elevar al cuadrado ambos lados de cada ecuación (2-1) y sumarlos se elimina el parámetro; la ecuación resultante es

(σx1-(σx+σy)/2)^2+T^2x1y1=((σx-σy)/2)^2+T^2 xy (2-8)

Estaecuación puede formularse en una forma más sencilla mediante la siguiente notación:
med=(σx+σy)/2 R=√(((σx-σy)/2)^2+T^2xy ) (2-9)

La Ec. (2-8) resulta ahora
("" x1- "" med)^2+T^2x1y1=R^2
Que es la ecuación de un circulo en coordenadasx1y Tx1y1. El circulo tiene radio R y su centro de tiene coordenadas x1= med y Tx1y1 = 0

Nuestra siguiente tarea es construir un círculo de Mohr apartir de la Ec. (2-1) y (2-10). Para hacerlo, tomaremos x1 como la abscisa y Tx1y1 como la ordenada. Sin embargo, el círculo puede trazarse en dos formas diferentes. En la primera forma del círculo de Mohr, trazamos x1 positivo a la derecha y Tx1y1, positivo hacia abajo; entonces el ángulo
2 es positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj (Fig. 2.8b). Ambas formas del círculo sonmatemáticamente correctas y concuerdan con las ecuaciones, por lo que elegir entre ellas es asunto de preferencias personales. Como el ángulo  para el elemento esforzado es positivo en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Podemos evitar errores adaptando la figura del círculo de Mohr en la que el ángulo 2 es positivo en sentido contrario al delas manecillas del reloj (sentido antihorario). Es así que optaremos por la primera forma del circulo de Mohr (Fig.2.8a).Se procede ahora a construir el círculo de Mohr para un elemento en esfuerzo plano (Fig. 2.9a y 2.9b). Los pasos son los siguientes:

Localizar el centro C del circulo en el punto de coordenadas
x1= med y Tx1y1 = 0 (Fig. 2.9c).













2 ) Localizar el punto de A, que es el punto sobre el círculoque representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara X del elemento ( = 0); para este punto tenemos x1 = x y Tx1y1= Txy

3 ) Localizar el punto B, el cual representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara Y del elemento (= 90) Las coordenadas de este punto son x1= y Y Tx1y1= -Txy ,ya que cuando el elemento se gira un ángulo = 90, el esfuerzo normal x1 se vuelve Y y elesfuerzo cortante Tx1y1 se vuelve el negativo de Txy Obsérvese que una recta desde A hasta B pasa a través de C. Por lo que los puntos A y B, que representan los esfuerzos sobre los planos a 90 uno del otro, están en los extremos opuestos del diámetro (separados 180° en el círculo).

4 ) Dibujar el círculo a través de los puntos A y B concentro en C. Obsérvese que el radio del círculo es la longitudde la recta CA. Para calcular esta longitud, observamos que las abscisas es (x-y)/2 y x1, respectivamente. La diferencia en estas abscisas es , como se muestra en la Fig. 2.9c. También, la ordenada del punto A es
y. Por lo tanto, la recta CA representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene un lado de longitud (x-y)/2, y otro lado de longitud Txy. Al calcular la raíz cuadrada dela suma de los cuadrados de los dos lados se obtiene R (véase Ec. 2-9).



Determinemos ahora los esfuerzos que actúan sobre una cara inclinada del elemento orientado a un ángulo  a partir del eje X (Fig. 2.9b). Sobre el circulo de Mohr, tomamos un ángulo 2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj a partir del radio CA, ya que A es el punto para el cual =0°. El ángulo 2...