Delta de Dirac y Producto de Convolución

Delta de Dirac y Producto de Convolución

Resumen
La función generalizada Delta de Dirac, es utilizada para el análisis y síntesis de sistemas lineales e
invariantes en el tiempo. En el presente trabajo se dene dicha función de distribución y se demuestran
algunas de sus propiedades, las cuales son útiles para el análisis matemático de dichos sistemas.
El producto de convolución es laoperación que permite calcular la respuesta de un sistema lineal e
invariante en el tiempo, frente a una señal entrante. Se demuestran algunas propiedades de esta operación,
las cuales son útiles para el análisis matemático de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo.
Dada la utilidad de la transformada de Laplace en el análisis de sistemas lineales e invariantes en el
tiempo, se muestracomo se relacionan ambos temas con la transformada de Laplace.

1. Alcance
El presente trabajo pretende introducir al lector en el tema de la Delta de Dirac. Por lo tanto, el
análisis de dicha función de distribución que se realiza aquí, no es exhaustivo. Ya que únicamente se enumeran
y demuestran algunas de sus propiedades, las cuales son utilizadas para realizar modelos matemáticos desistemas lineales e invariantes en el tiempo.
La función de distribución Delta de Dirac, se dene en este trabajo utilizando el tiempo como variable
independiente. Aunque desde el punto de vista matemático y para todas las demostraciones aquí realizadas,
basta con que la variable independiente sea real, pudiendo representar a cualquier otra magnitud.
No se exhibe el uso de las propiedadesdemostradas, ya que esto forma parte del análisis y diseño de
sistemas. Tema que se tratará en otro documento.
Se ha incluido el tema del producto de convolución, herramienta fundamental en el análisis de sistemas
lineales e invariantes en el tiempo. Dado que, conociendo la función transferencia que caracteriza a un
sistema, el producto de convolución nos permite calcular su respuesta frente acualquier señal entrante.
Se supone que el lector posee conocimientos de análisis matemático, que incluyen los siguientes temas:
funciones de variable real, límites, derivadas e integrales simples, como así también la denición de la transformada de Laplace.
El presente trabajo está orientado a los alumnos de las materias Cálculo Avanzado y Análisis Numérico
y Cálculo Avanzado, las cualesson asignaturas de grado para las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería
Industrial, respectivamente. Dichas materias son dictadas por el autor, en la Facultad de Ingeniería de la
Universidad Tecnológica Nacional, regional Haedo. Constituyendo el presente trabajo un apunte de cátedra.

2. Introducción
La delta de Dirac, debe su nombre a quien la ideó; el ingeniero electricista,matemático y físico inglés,
Paul Audrien Maurice Dirac (1902-1984). Quien en 1930, la utilizó en su libro Principios de la Mecánica
Cuántica, donde la denominó como función delta, aceptando que no era rigurosamente una función.
Dirac, compartió el premio Nobel de física en 1933 con el físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961).
La delta de Dirac pertenece estrictamente al conjunto de funcionesgeneralizadas o distribuciones de
Schwartz1 , también denominadas funciones de distribución. En ingeniería se la utilizaba como una función,
antes de que Schwartz deniera las distribuciones (o funciones de distribución), siempre haciendo la salvedad de
que, escrupulosamente, no es una función. No vamos a profundizar aquí el concepto de funciones generalizadas,
1 Laurent Schwartz(1915-2002), matemático francés. Recibió la medalla Fields en 1950, este premio es considerado como el
equivalente al Nobel en matemáticas, ya que no hay premio Nobel de matemáticas.

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baste decir que puede no estar denido el valor de una función generalizada en un intervalo, pero se conocen
sus valores integrales para cualquier intervalo de integración.
Si bien no está documentado, se...