Delta

La delta de Dirac http://www.dfi.uchile.cl/ hfa

MMF-2006; FCFM - U Chile

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La delta de Dirac

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Outline

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Definici´n o

1

Propiedades

1

Representaciones

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Introducci´n o

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¢ ¢ ¢La delta de Dirac fu´ introducida por Dirac en los a˜os 20 del siglo e n pasado y ha sido utilizada extensivamente por los f´ ısicos desde entonces. Su formalizaci´n matem´tica ocurre bastante despues, hacia los a˜os o a n 50, por Laurent Schwartz con la introducci´n de la teor´ de o ıa funciones generalizadas o distribuciones. En esta secci´n revisaremos algunas nociones acerca de ´sta funci´n oe o sin profundizar demasiado en sus aspectos formales.

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Definici´n o
La delta de Dirac es introducida para representar cierto tipo de infinitos y sus argumentos son variables reales. Ella se denota mediante la letra griega δ y se define mediante 0 1 para x

δ x dx

Para hacerse una idea, se trata de una ‘funci´n’ que es nula en todo o el espacio salvo en las vecindades de x 0,donde se hace infinita. La delta de Dirac no es una funci´n pues no tiene imagen definida. o Su significaci´n se manifiesta en el contexto de integrales. Por tal o motivo Dirac denomin´ a δ x una funci´n impropia. o o

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δ x

0

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Una propiedad importante que emerge de su definici´n es larelaci´n o o

En efecto, f x δ x dx f 0 δ x dx f 0 resultado es inmediato verificar entonces que f x δ x a dx

Estos resultados son tambi´n v´lidos cuando f representa vectores u e a operadores.

Con respecto a los l´ ımites de integraci´n, ´stos no necesariamente o e deben ir desde a , pudiendo tambien ser finitos. Por simplicidad en la escritura omitiremos los l´ ımites de las integrales enel subentendido de que ellos no son ambiguos.
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f x δ x dx f 0 .

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δ x dx

f 0 . De este

f a .

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Propiedades

δ x2

a2

δ x

f x δ x

a

δ a

x δ x

b dx

δ a

b

δ x f x dx
xδ x

f 0xk

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k

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δ f x

1 f xk

δ x

con f xk

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δ x

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a

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δ x xδ x δ ax δ x 0 1 δ x a 1 δ x a 2a f aδ x a

(1a) (1b) (1c) (1d) (1e) (1f) (1g)(1h) 0 (1i)
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Demostraci´n de (1a) o

Para la primera de ellas consideremos una funci´n f x arbitraria y o hacemos el cambio de variable z x. Entonces

f x δ

x dx

f

z δ z dz

f 0 δ z dz

Puesto que f x es arbitraria, entonces δ

x

δ x .

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f x δ x

Demostraci´n de (1b) o

Para la propiedad (1b) consideremos nuevamente una funci´n arbitraria o f x . Entonces,

Por lo tanto x δ x act´a, en el sentido de una distribuci´n, como el cero. u o

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f x xδ x dx xf x

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δ x dx

xf xx 0

0.

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Demostraci´n de (1c) o

Consideremos una funci´n f x arbitraria y a o un cambio de variable z ax. Entonces, f x δ ax dx 1 a f z δ z dz a 1 a

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f 0 δ z dz
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0. Adem´s introducimos a 1 δ z a

f z

dz

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Demostraci´n de (1c) o...