Demos

Se deja caer un objeto de masa m desde un globo de aire caliente. Calcular la distancia que recorre en t segundos suponiendo que la fuerza de fricción debida al aire es directamente proporcional a lavelocidad del objeto.
Seleccione una respuesta.
| a. s(t) = g( t + ( ce^(ct) ) - 1/c ) / c | |
| b. s(t) = g( t + 1 / ( ce^(ct) ) - 1/c )c | |
| c. s(t) = g( t + 1 / ( ce^(ct) ) - 1/c ) /c | |
| d. Ninguna | |
| e. s(t) = g( t + 1 / ( ce^(-ct) ) - 1/c ) / c | |
SOLUCION Introducimos un eje vertical con la dirección positiva hacia abajo y el origen en el punto donde se dejacaer el objeto, como observamos a continuación:
Se desea calcular la distancia s (t) del origen al objeto al tiempo t. La velocidad del cuerpo es v = s´(t) y la magnitud de la aceleración es a =dv/dt = s´´ (t). Si g es la aceleración de la gravedad, entonces el objeto es atraído hacia la tierra con una fuerza de magnitud mg . Por hipótesis, la fuerza de fricción debida al aire es kv para unaconstante k, y su dirección es opuesta al movimiento. Resulta que la fuerza F hacia abajo sobre el objeto es mg – kv. Como la segunda ley del movimiento de Newton afirma que F = ma = m(dv/dt), llegamos ala siguiente ecuación diferencial:
m dv/dt = mg - kv
o equivalentemente
dv/dt + k/m *v = g
si denotamos por c la constante k/m, esta ecuación puede escribirse como
dv/dt + cv = g
que es unaecuación diferencial de primer orden con t como variable independiente

e ƒc dt = ect
es un factor de integración. Multiplicando por ect ambos lados de esta última ecuación, obtenemos
ect *dv/dx + cect v = ge ct
Dt (ect) = gect
Integrando en ambos miembros
vect = g/c* ec + K=
v = g/c = K –ct

donde K es una constante
Si tomamos t = 0, entonces v = 0 y por lo tanto
0 = g/c + K y K = - g/cPor consiguiente
V = g/c - g/c * ect
Integrando con respecto a t en ambos lados de esta ecuación y usando el hecho de que v = s´(t), vemos que
S(t) = g/c*t + g/c²*e-ct + E
Podemos calcular la...