Demostración de ec. mínimos cuadrados

Demostración de Ecuación de Mínimos Cuadrados
Aproximación por rectas que pasan por el origen

Definimos las ecuaciones para la mejor aproximación de un conjunto de valores
experimentales(x1,y1);( x2,y2)… (xn,yn, ), por una recta general, que no
necesariamente pase por el origen. Podemos expresar la relación entre ambas
magnitudes de la siguiente forma:

y  mx  b
En donde m es lapendiente de la recta y b es el punto de corte de la recta con el
eje y.
La distancia de cada punto del gráfico a la recta tendrá la expresión:
f (m, b)  mx  b  y

Calculamos la suma de lasdistancia de cada punto del gráfico a la recta elevada al
cuadrado, que nos da una idea de cuan cerca está la recta de los datos
experimentales. La misma estará dada por la siguiente expresión:
N

f(m, b)   ( y  y ) ^ 2
i 1
N

f (m, b)   ( y  mx  b) ^ 2
i 1

Lo que deseamos es obtener los valores de a y b que minimizan dicha función. Para
lograr dicho objetivo, debemos imponer lasiguiente condición de extremo :
f m  f b  0

Calculando dichas derivadas parciales de la expresión de f(m,b) como función de m
y b, obtenemos:
N

f m   ( y  mx  b) * 2
i 1
Nf m   2( y  mx  b)(0  x  0)
i 1

f m  0
N

N

N

2 xy  2 mx ^ 2  2 bx  0
i 1

i 1

i 1

N

N

N

i 1

i 1

i 1

 xy  m x ^ 2  b x  0(1)

Nf b   ( y  mx  b) ^ 2
i 1
N

f b   2( y  mx  b)(1)
i 1
N

f b   2( y  mx  b)
i 1

N

N

N

i 1

i 1

i 1

f b  2 y  2 mx  2b1
f b  0N

N

i 1

i 1

 y  m x  bN  0(2)
Igualando el sistema de ecuaciones:
N

N

N

N

N

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

 xy  m x ^ 2  b x   y  m x ^ 2  bNDespejando m de la primera ecuación
N

m

N

 xy  b x
i 1

i 1

N

x^2
i 1

Reemplazando en la segunda ecuación y despejando b
N

N

 xy  b x

N

 y  ( i...