Demostración e interpretación geométrica del Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral
Páginas: 2 (383 palabras)
Publicado: 3 de diciembre de 2014
Demostración e interpretación geométrica del Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral
▲ INTRODUCCIÓN ▲
Al iniciarse en el estudio del Cálculo, diferencial e integral, los alumnosestudian una serie de teoremas que relacionan diversos aspectos de los conceptos sobre los que trabajan. Estos teoremas constituyen herramientas importantes y los estudiantes que profundicen en elestudio de las Matemáticas, o de la Física, los utilizarán a menudo.
Sin embargo, la misma idea de teorema: el que una serie de hipótesis previas garanticen un resultado concreto, es a veces algoexcesivamente abstracto y formal para muchos de los alumnos de bachillerato. Esta unidad pretende explicar el teorema del valor medio del Cálculo Integral, tratando al mismo tiempo de consolidar lacapacidad de comprensión y uso del lenguaje matemático.
▲OBJETIVOS ▲
-Conocer el enunciado del teorema del valor medio.
-Comprobar dicho teorema en diversos casos prácticos.
-Dar una interpretacióngeométrica para un tipo particular de funciones.
-Resolver ejercicios concretos sobre la posible aplicación del teorema y su solución, cuando ello sea factible.
► Forma integral del Teoremadel valor medio Para una función continua en el cerrado , existe un valor en dicho intervalo, tal que
Demostración Dado que la función es continua en el cerrado , posee un valor máximo en
dichointervalo para algún , que llamaremos y también un valor mínimo en el mismo intervalo: , para algún .
Es decir y . Si consideramos las áreas de los rectángulos con base y altura ó tendremos lasiguiente desigualdad:
Lo que implica:
De donde se deduce que debe existir algún para el cual la función alcanza el valor
de la integral , es decir:
El teorema no especifica comodeterminar , pero resulta que coincide con el valor medio(promedio) de la función en el intervalo .
► En resumen podemos decir que : Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,...
▲ INTRODUCCIÓN ▲
Al iniciarse en el estudio del Cálculo, diferencial e integral, los alumnosestudian una serie de teoremas que relacionan diversos aspectos de los conceptos sobre los que trabajan. Estos teoremas constituyen herramientas importantes y los estudiantes que profundicen en elestudio de las Matemáticas, o de la Física, los utilizarán a menudo.
Sin embargo, la misma idea de teorema: el que una serie de hipótesis previas garanticen un resultado concreto, es a veces algoexcesivamente abstracto y formal para muchos de los alumnos de bachillerato. Esta unidad pretende explicar el teorema del valor medio del Cálculo Integral, tratando al mismo tiempo de consolidar lacapacidad de comprensión y uso del lenguaje matemático.
▲OBJETIVOS ▲
-Conocer el enunciado del teorema del valor medio.
-Comprobar dicho teorema en diversos casos prácticos.
-Dar una interpretacióngeométrica para un tipo particular de funciones.
-Resolver ejercicios concretos sobre la posible aplicación del teorema y su solución, cuando ello sea factible.
► Forma integral del Teoremadel valor medio Para una función continua en el cerrado , existe un valor en dicho intervalo, tal que
Demostración Dado que la función es continua en el cerrado , posee un valor máximo en
dichointervalo para algún , que llamaremos y también un valor mínimo en el mismo intervalo: , para algún .
Es decir y . Si consideramos las áreas de los rectángulos con base y altura ó tendremos lasiguiente desigualdad:
Lo que implica:
De donde se deduce que debe existir algún para el cual la función alcanza el valor
de la integral , es decir:
El teorema no especifica comodeterminar , pero resulta que coincide con el valor medio(promedio) de la función en el intervalo .
► En resumen podemos decir que : Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,...
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