Demostracion De La Derivada De Un Cociente

Demostración de la derivada del cociente

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por
angel relativamente
el 17/07/2010 a las 20:02:37 (5946 Visitas)
Procedamos a demostrar la derivada de un cociente. Dice así:La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador. Esdecir:



Primero lo demostraremos empleando la derivada de una potencia y la derivada de un producto :

Recordemos:
Derivada de una potencia



Derivada de un producto


Comenzemos conla demostración de la derivada del cociente por este método:


Aplicamos la fórmula de la derivada del producto:


Aplicamos la fórmula de la derivada de una potencia:


Operamos:Restamos las fracciones:




Por este método queda demostrada la ecuación ( 1 ). Vamos por el segundo método, un tanto más formal. Para este utilizaremos el concepto de límite, cuyos teoremasprincipales podemos encontrarlos en este blog , y la definición de derivada.

Recordemos que podemos definir a la derivada de la siguiente manera:


Procedamos a demostrar la fórmula de laderivada del cociente mediante la definición de derivada. Al cociente de funciones lo escribiremos como la función cociente:



Si sustituimos esta función en la definición de derivada, nos queda:Ahora volvemos a descomponer nuestra función cociente en el cociente de funciones, de tal modo que:



Simplificamos:


Ahora, al término vamos a restarle . El problema es que alhacer esto modificaríamos la expresión, por tanto también vamos a sumárselo:




Ahora separaré los términos convenientemente, sin modificar la expresión:




Opero convenientemente:Ahora restamos las fracciones:




Sacamos factor común al :




Ahora vamos a multiplicar a la segunda fracción por . Para no alterar la expresión, multiplicaremos numerador y...