Demostraciones conjuntos

Conjunto. Un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos. A estos objetos se les llama elementos del conjunto. Notación. El nombre de los conjuntos se denota comúnmente con letras mayúsculas: A, B, N, Z, etc. y sus elementos (cuando son letras) con minúsculas. Para denotar que un elemento x pertenece a un conjunto A se escribe x ∈ A; si x no pertenece a A, ⇒ x ∉ A.Ejemplos: las vocales, personas que habitan la Tierra, jugadores de un equipo de fútbol, personal docente de alguna institución educativa, N (conjunto de los números naturales), Z (conjunto de los números enteros), Q (conjunto de los números racionales de la forma p/q, donde p, q ∈ Z), R (conjunto de los números reales), C (conjunto de los números complejos), etc. Los conjuntos se describen enlistándolosentre llaves separando a sus elementos con comas, o por medio de condiciones: A = {2, 4, 6, 8} = {n∈N | n es par y n ≤ 8}. ¿Cualquier colección es un conjunto? No. Sea C el conjunto de todos los conjuntos que no están en sí mismos. ¿C∈C? Si C∈C ⇒ C∉C; Si C pertenece a C, entonces C pertenece al conjunto de todos los conjuntos que no están en sí mismos, es decir, C; por lo tanto C no pertenece a C,porque no está en sí mismo. Si C∉C ⇒ C∈C; Si C no pertenece a C, entonces C no está en el conjunto de todos los conjuntos que no están en sí mismos, así que C está en un conjunto de los conjuntos que se contienen a sí mismos, por lo que es un conjunto que se contiene a sí mismo, por lo tanto C está en C ! Subconjuntos. Sean A y B dos conjuntos. Se dice que B es un subconjunto de A si cadaelemento de B es también un elemento de A. Notación. Se escribe B⊂A cuando B es subconjunto de A, ó B está contenido en A. Entonces B⊂A ⇔ x∈B ⇒ x∈A. Si B no es subconjunto de A, se empleará B⊄A. Ejemplos. C = {1, 3, 5}, D = {5, 4, 3, 2, 1} ⇒ C ⊂ D. A = {x | x es bípedo}, B = {x | x es pájaro}. B ⊂ A (todos los pájaros son bípedos). A ⊄ B (existen bípedos que no son pájaros). Definición. Dos conjuntos A yB son iguales (A = B) ⇔ A ⊂ B y B ⊂ A.

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Observación. El conjunto vacío, denotado por ∅, ó {}, que no contiene elemento alguno, se considera subconjunto de todo conjunto. Observación. Si B no es subconjunto de A, es decir B ⊄ A, entonces hay por lo menos un elemento de B que no es elemento de A. Subconjunto Propio. Puesto que todo conjunto A es subconjunto de si mismo, se dirá que B es unsubconjunto propio de A si, en primer lugar B es subconjunto de A y, en segundo lugar, B no es igual a A. Notación (de algunos libros). B es subconjunto de A: B ⊆ A. B es subconjunto propio de A: B ⊂ A. Conjuntos finitos e infinitos. Si el número de elementos de un conjunto es finito, entonces el conjunto es finito. Si el número de elementos de un conjunto es infinito, entonces el conjunto esinfinito. Ejemplo de conjunto finito: M = {los días de la semana} = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}. Ejemplo de conjunto infinito: Ñ = {n ∈ N | n es par} = {2, 4, 6, 8, … }. Comparabilidad. Dos conjuntos A y B son comparables si A ⊆ B ó B ⊆ A. No son comparables si A ⊄ B y B ⊄ A. Conjuntos ajenos (ó disjuntos). Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir,ningún elemento de A está en B y viceversa, se dice que A y B son ajenos (ó disjuntos). Conjunto Potencia. La familia de todos los subconjuntos de un conjunto S se llama conjunto potencia de S. Se le designa por 2S. Ejemplos. Si M = {a, b}, entonces 2M = {{a, b}, {a}, {b}, ∅}. Si T = {4, 7, 8}, entonces 2T = {T, {4}, {7}, {4, 8}, {4, 7}, {8}, {8, 7}, ∅}. Observación. Si un conjunto S es finito, esdecir, tiene n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n elementos. Si un conjunto S es infinito, entonces el conjunto potencia será infinito. OPERACIONES CON CONJUNTOS Unión de 2 conjuntos A y B es el conjunto:
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A∪B = {x|x∈A ó x∈B} Propiedades. i) ii) iii) A⊂A∪B, B⊂A∪B A∪B = B∪A (conmutativa) (A∪B) ∪ C = A∪ (B∪C) (asociativa)

Intersección de 2 conjuntos A y B es el conjunto:...