Demostraciones De Integrales

Instituto de F´ısica
Universidad de Guanajuato

An´alisis Vectorial

Dr. Miguel Sabido Moreno, Celia Escamilla-Rivera,
´ Trejo Alonso
Josue
Le´on, Guanajuato.

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´Indice general
1. Introducci´
on

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2. Integrales de l´ınea
2.1. Caminos e integrales de l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Otras notaciones para las integrales de l´ınea . . . . . . . . .
2.3. Propiedades funadamentalesde las integrales de l´ınea . . . .
2.4. El concepto de trabajo como integral de l´ınea . . . . . . . .
2.5. Integrales de l´ınea con respecto a la longitud de arco . . . .
2.6. Otras aplicaciones de la integrales de l´ınea . . . . . . . . . .
2.7. Conjuntos conexos abiertos. Independencia del camino . . .
2.8. Segundo teorema fundamental del c´alculo para integrales de
l´ınea . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Aplicaciones a la Mec´anica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10. El primer teorema fundamental del c´alculo para integrales de
l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11. Condiciones necesarias y suficientes para que un campo vectorial sea un gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12. Condicionesnecesarias para que un campo vectorial sea un
gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13. M´etodos especiales para construir funciones potenciales . . .
2.14. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales exactas de primer
orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.15. Funciones de potencial en conjunto convexos . . . . . . . . .

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3. Integrales m´
ultiples
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3.1. Integral doble de una funci´on escalonada . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Definici´on de integral doble de una funci´on definida y acotada
en un rect´angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3

´INDICE GENERAL

4

3.3. Integrales dobles superior e inferior . . . . . . . . . . . .. .
3.4. C´alculo de una integral doble por integraci´on unidimensional
reiterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Integrabilidad de funciones continuas . . . . . . . . . . . . .
3.6. Integrabilidad de funciones acotadas con discontinuidades . .
3.7. Integrales dobles extendidas a regiones m´as generales . . . .
3.8. Aplicaciones a ´areas y vol´
umenes . . . . . . . .. . . . . . .
3.9. Otras apliaciones a las integrales dobles . . . . . . . . . . . .
3.10. Dos teoremas de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11. Teorema de Green en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12. Algunas aplicaciones del teorema de Green . . . . . . . . . .
3.13. Condici´on necesaria y suficiente para que un campo vectorial
bidimensional sea un gradiente . . . . .. . . . . . . . . . . .
3.14. Teorema de Green para regiones m´
ultiplemente conexas . . .
3.15. Cambio de variable en una integral doble . . . . . . . . . . .
3.16. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Integrales de superficie
4.1. Representaci´on param´etrica de una superficie
4.2. Producto vectorial fundamental . . . . . . . .
4.3. Area de una superficieparam´etrica . . . . . .
4.4. Teorema de Stokes y Teorema de Gauss . . . .
5. Algunos problemas de Electromagnetismo

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Cap´ıtulo 1
Introducci´
on
A partir del siglo XVII, con el estudio del movimiento, es decir, al estudiar
lavelocidad de los cuerpos al caer al vac´ıo ya que cambia de un movimiento
a otro, la velocidad en cada instante debe calcularse, teniendo en cuenta la
distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente peque˜
no, se empez´o el
estudio del c´alculo infinitesimal, el cual es la rama de las matem´aticas que
comprende el estudio y aplicaciones del c´alculo diferencial y del integral.
Conforme el...