Demostraciones De La Traza De Una Matriz

TRAZA DE A

Conocimientos previos: propiedades de sumatorias y del concepto de traza de
una matriz.
Objetivos: Que el alumno utilice la notación de sumatoria en el producto de
matrices y hagauso de las propiedades correspondientes.
Definición: Si A es una matriz cuadrada de orden n, decimos que la traza de
A es la suma de los elementos de la diagonal. En símbolos:
n

Tr  A   a 11 a 22  ...  a nn 

a

ii

i 1

Por ejemplo,

2

5

4

1

1

1

8

3

2
si A  
1

4


2

1

0

3

6


4

Entonces:

Tr  A  

a ii  a 11  a 22  a 33  a 44  3  4  (  1 )  6  14

i 1

Demostraremos a continuación algunas propiedades importantes y muy
sencillas de probar. La metodología que emplearemos esdemostrar
directamente, utilizando sólo las definiciones de traza y las difer entes
propiedades de sumatorias.
1) Tr c . A   c .Tr  A 

Demostración:
4

Tr  c . A  

 c .a
i 14
ii  c .

a
i 1

ii  c .Tr

A 

2) Tr  A  B   Tr  A   Tr  B 

Demostración:
n

n

 a

Tr  A  B  

ii  b ii

n





i 1

a ii 

i 1

b A   Tr  B 

ii  Tr

i 1

3) Tr  A . B   Tr  B . A 

Demostración:
Sea C  A . B ;

c ij 

entonces

 a

n



c ii 

ik b kj ;

 a



ik .b ki ;k 1

Sea D  B . A ;

d ji 

entonces

 b

n



d kk 

jk . a ki ;

 b



ik . a ki ;

k 1

Luego,
n

Tr  A . B   Tr C  

n

c

ii 

n

  ai 1

i 1

n


b ki . a ik


k 1  i 1
n

ik b ki

k 1











n



d kk  Tr  D   Tr  B . A 

k 1



4) Tr  A   Tr A



TDemostración:



Si A  a ij ,
Sea

BA

(Observ e
Luego

entonces

A

T



 a ji

T

que A y B t ienen

la m isma

diagonal,

:
n

Tr  A  


i 1...