demostraciones del quinto postulado

Demostraciones del quinto postulado de Euclides
La suma de [las medidas de] los ángulos de cualquier triángulo es igual a [la suma de las medidas de] dos ángulos rectos.
Elementos, I, 32. Ibn-al-Haitham (en torno a 965-1039), conocido como Alhazen en Occidente, dio una demostración del quinto postulado argumentando que si un cuadrilátero tiene tres ángulos rectos también es recto elcuarto. En su demostración supuso que el lugar geométrico de los puntos equidistantes a una recta dada era de nuevo una recta. Cayó en la trampa de la línea equidistante. La simple afirmación de queexistan dos rectas equidistantes es equivalente al quinto postulado. Por otro lado, la propiedad que afirma que en un cuadrilátero si tres de sus ángulos son rectos también lo es cuarto, es tambiénequivalente al quinto postulado.
Nasir Eddin Realizó una versión de los Elementos de Euclides y entre las proposiciones 28 y 29 dio una demostración del quinto postulado. Supuso incorrectamente que si uncuadrilátero ABCD tiene ángulos rectos en A y en D, entonces el ángulo en B es agudo si y sólo si el ángulo en C es obtuso. De nuevo encontramos una propiedad que se verifica en geometría euclidiana yque en geometría absoluta es equivalente al quinto postulado.
Probablemente el primer occidental que analizó el postulado de las paralelas fuera el rabí de Aviñon conocido por Gersónides(1288-1344) quetrabajó con cuadriláteros equiláteros y equiángulos. Aquí tenemos que la proposición que afirma que los ángulos de un cuadrilátero equilátero y equiángulo son rectos es también equivalente al quintopostulado.



. En su trabajo Lambert se preguntó si el quinto postulado se podría deducir a partir de los demás o si sería necesaria alguna hipótesis adicional. Después dio diferentesafirmaciones que necesitaban ser probadas pero que implicaban el quinto postulado. En la parte final consideró cuadriláteros pero con tres ángulos rectos. De nuevo tenía las tres hipótesis posibles respecto...