Demostraciones Econometricas

1
ECONOMETRÍA I
Profra.: Ilana Méndez Castrejón
Clase 1: Obtención de los estimadores y
demostraciones (termino de perturbación, u)
Septiembre, 2012
Para el modelo de regresión lineal, i i i Y   X  u 1 2   se obtienen los estimadores y se
verificaron las siguientes propiedades numéricas de los estimadores de MCO :1
    
    
   
n
i
n
i
i i
n
i
i i
n
i
i in
i
i u u X u Y Y Y
1 1 1 1 1
.
ˆ 0; ˆ 0; ˆ ˆ 0 ˆ
Para realizar cada una de estas demostraciones, en primer lugar se realizo el cálculo de las
ecuaciones normales y la obtención de los estimadores del Modelo de Regresión Lineal Simple. El
modelo de regresión de dos variables está dado por una relación lineal aproximada, que está dada
por:
i i Y β β X 0 1   ( 1 )
Donde:
Yi = Variabledependiente poblacional
β0 = Ordenada al origen poblacional de Y, si el intervalo de los datos incluye a X = 0, entonces
dicho coeficiente, es la media de la distribución de la respuesta y cuando X = 0.
β1 = Pendiente poblacional, que mide el cambio de la media de la distribución de y producido por
un cambio unitario en X.
Dado que es improbable que los puntos caigan precisamente sobre lalínea, la relación lineal
exacta de la Ec. (1) debe ser modificada para obtener el término de perturbación aleatorio, error o
término estocástico, ui:
1 Para las demostraciones se basan en Gujarati y Porter (2010) y Montgomery (2006)/ Introducción al análisis
de Regresión Lineal, CECSA.
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES “ACATLÁN”
DIVISIÓN DE CIENCIAECONÓMICAS
2
i i i Y  β  β X  u 0 1 ( 2 )
Para ajustar una línea de recta óptima a la muestra para observaciones XY, se utiliza el Método de
Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO o RLS por sus siglas en inglés), lo cual involucra minimizar
la suma de los cuadrados o desviaciones (verticales) entre los puntos de la línea:
Min (Y Yˆ )2 i i   ( 3 )
Donde Yi se refiere a las observaciones reales; Ŷia los valores ajustados correspondientes, así Yi –
Ŷi = ui, es el residuo o término de error donde:
u Y Y Y (β β X ) i i i i 0 1 i
ˆ   ˆ   ˆ  ˆ ( 4 )
La suma de los errores al cuadrado (RSS) es:
 
 
   
n
i
i i
n
i
i RSS u Y X
1
2
0 1
1
2 ˆ ( ˆ ˆ ) ( 5 )
El objetivo es minimizar la suma de los errores al cuadrado (RSS). Para ello, se expresa la Ec. (5)
en funciónde los estimadores β0 y β1:
   
n
i
i i MIN RSS Y X
1
2
0 1 ( ˆ ˆ ) ( 6 )
Para minimizar RSS, se deriva parcialmente con respecto a las betas, es decir las condiciones de
primer orden:



     

 



n
i
i i
n
i
i i
Y X
Y X
RSS
1
0 1
0
1
2
0 1
0
2 ( ˆ ˆ ) ( 1) 0
ˆ
( ˆ ˆ )
ˆ
 

 

3



     

 



n
ii i
n
i
i i
Y X X
Y X
RSS
1
0 1
1
1
2
0 1
1
2 ( ˆ ˆ ) ( ) 0
ˆ
( ˆ ˆ )
ˆ
 

 

Para obtener los estimadores mínimo-cuadráticos se resuelve cada una de las derivadas anteriores
igualadas a cero:
  
  

             


n
i
i i
n
i
i i
n
i
i i Y X Y X Y X
RSS
1
0 1
1
0 1
1
0 1
0
2
2 ( ˆ ˆ ) ( 1) 0 ( ˆ ˆ ) ( 2) 0 ( ˆ ˆ ) 0
ˆ     

          

Y X Y X Yi Xi i i
n
i
i i 0 1 0 1
1
0 1
( ˆ ˆ ) 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ
 
 
 
n
i
i
n
i
Yi n X
1
0 1
1
ˆ ˆ ( 7 )
  
  
              


n
i
i i i
n
i
i i i
n
i
i i i Y X X Y X X Y X X
RSS
1
0 1
1
0 1
1
0 1
1
( ˆ ˆ ) ( ) 0
2
2 ( ˆ ˆ ) ( ) 0 ( ˆ ˆ ) ( ) 0
ˆ
     

ˆ ˆ 01
2
1
1 1
0      
  
n
i
i
n
i
n
i
i i i Y X  X  X ( 8 )
Las ecuaciones (7) y (8) se denominan Ecuaciones Normales de la Recta de Regresión:
( ˆ ˆ ) 0 ˆ ˆ 0 ( 1) ˆ ˆ 0
1
2
1
1 1
0
1
2
1
1 1
0
1
2
0 1                
      
n
i
i i
n
i
n
i
i i
n
i
i i
n
i
n
i
i i
n
i
i i i i Y X X   X Y X  X  X Por Y X ...