Demostraciones_Espacios_Vectoriales

En esta pgina incluimos las demostraciones de algunos temas tericos que en ciertas ocasiones, por razones de disponibilidad de tiempo, no pueden dictarse en los cursos, pero que estn incluidos en el programa analtico de la materia y que por lo tanto es necesario conocer y saber demostrar. En la tipografa empleada, indicaremos los vectores con negrita. Unidad VII Espacios Vectoriales 1.- Lainterseccin de dos subespacios es un subespacio vectorial En primer lugar recordemos la definicin de interseccin de subespacios. Si S1 y S2 son dos subespacios vectoriales incluidos en un espacio vectorial V, S S1 EMBED Equation.3 S2 est formado por todos los vectores u pertenecientes a V tales que u pertenece a S1 y simultneamente u pertenece a S2. Para probar que efectivamente S S1 EMBEDEquation.3 S2 es un subespacio vectorial de V debe cumplirse a.- Que S no sea vaco Esto es cierto por cuanto al ser S1 y S2 subespacios, siempre el vector nulo (0) pertenece a ambos, por lo que la interseccin de S1 y S2 siempre cuenta por lo menos con un elemento el mencionado vector nulo. b.- Que sea cerrado para la suma Consideremos un vector u que pertenece a S1 EMBED Equation.3 S2 y un vectorv que pertenece a S1 EMBED Equation.3 S2. Debemos probar que u v pertenece a S1 EMBED Equation.3 S2. Si u pertenece a S1 EMBED Equation.3 S2 entonces u pertenece a S1 y a la vez u pertenece a S2, por definicin de interseccin de subespacios. Del mismo modo, si v pertenece a S1 EMBED Equation.3 S2 entonces v pertenece a S1 y a la vez v pertenece a S2, por similar razn. Como S1 es unsubespacio vectorial de V, si u pertenece a S1 y v tambin pertenece a S1, su suma u v pertenecer a S1, por cuanto al ser S1 subespacio como hemos mencionado, es cerrado para la suma (1) Anlogamente, como S2 es un subespacio vectorial de V, si u pertenece a S2 y v tambin pertenece a S2, su suma u v pertenecer a S2, por cuanto al ser S2 subespacio, es cerrado para la suma (2) Considerando loexpuesto en (1) y (2), resulta que u v pertenece tanto a S1 como a S2, por lo que por definicin de interseccin, pertenece a S1 EMBED Equation.3 S2. Con ello probamos que es cerrado para la suma. c.- Que sea cerrado para el producto por un escalar En consecuencia, al no ser un conjunto vaco y cumplir con la condicin necesaria y suficiente para que un conjunto S EMBED Equation.3 V sea subespaciovectorial de ste, S S1 EMBED Equation.3 S2 es un subespacio vectorial. 2.- La suma de dos subespacios es un subespacio vectorial Recordemos en primer lugar la definicin de suma de subespacios si S1 y S2 son dos subespacios incluidos en un espacio vectorial V, el subespacio S S1 S2 est formado por todos los vectores v de V tales que v v1 v2, con v1 perteneciente a S1 y v2 perteneciente aS2. Para probar que S S1 S2 es efectivamente un subespacio vectorial de V debe cumplirse a.- Que S no sea vaco Como definamos la suma de subespacios de modo que si v pertenece a S entonces v v1 v2 con v1 perteneciente a S1 y v2 perteneciente a S2, al ser S1 y S2 subespacios el vector nulo 0 pertenece a ambos, por lo que dicho vector tambin pertenece a S, lo que demuestra que la suma desubespacios cuenta por lo menos con un elemento el vector nulo. b.- Que sea cerrado para la suma Consideremos un vector u que pertenece a S S1 S2 y un vector v que pertenece a S S1 S2. Debemos probar que u v pertenece a S S1 S2. Si u pertenece a S1 S2 entonces u u1 u2 con u1 perteneciente a S1 y u2 perteneciente a S2, por definicin de suma de subespacios. Del mismo modo, si v pertenece a S1 S2entonces v v1 v2 con v1 perteneciente a S1 y v2 perteneciente a S2, por similar razn. Por lo tanto, u v (u1 u2) (v1 v2) Al segundo miembro de esta expresin la podemos agrupar aplicando la propiedad asociativa de la suma de vectores de la siguiente forma u v (u1 v1) (u2 v2) (1) En la ecuacin (1), el primer trmino encerrado entre parntesis incluye a dos vectores pertenecientes a S1...