demostraciones matematicas

Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp)
Vol. 104, Nº. 1, pp 61-79, 2010
XI Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica

RIGOR Y DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS
FERNANDO BOMBAL GORDÓN *
* Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Valverde 22, 28004 Madrid. Facultad de Matemáticas. Universidad
Complutense. 28040 Madrid.

1.

INTRODUCCIÓN

Todo texto matemáticoque se precie contiene una
serie de palabras significativas, como Teorema, Lema,
Proposición o Corolario, que preceden una serie de
enunciados más o menos ininteligibles. Después
aparece la palabra mágica: Demostración, encabezando una serie de argumentos más o menos misteriosos, que suelen terminar en un rotundo Q.E.D.
Si estamos examinando un trabajo de investigación
muy especializado, loslectores que no pertenezcan a
esa especialidad (que puede ser toda la Humanidad,
salvo 10 o 12 personas), no entenderán prácticamente
nada. Para poner un ejemplo de lo que digo, consideremos el siguiente texto:
Teorema.1 Sea Y un espacio de cotipo 2 y Xj
espacios Lˆ,O j para 1 † j † n . Todo operador multilinear T : X 1 — X 2 — ... — X n ‘ Y es múltiplemente 2sumante y

donde
cotipo 2 deY.

y

Pero no hay que pensar que la dificultad para
entender un resultado matemático radica sólo en la
cantidad de información previa necesaria para su comprensión. Hay enunciados tremendamente sencillos,
que todo el mundo puede entender pero que hasta el
momento nadie ha sabido responder. Uno de ellos es el
siguiente:
Todo número par mayor que 2 es suma de dos
números primos.2
Porejemplo, 4 3  1, 8 5  3 7  1, 20 13  7
19  1, etc. Hasta hoy, nadie ha encontrado un contraejemplo a la afirmación anterior. ¡Pero tampoco una
prueba de su validez para cualquier número par mayor
que 2!

es la constante de

Para no tener que ir muy lejos, he optado por elegir
un resultado incluido en uno de mis trabajos que, por
1

supuesto, no es tan especializado como los casosextremos mencionados anteriormente. Sin embargo,
muchos matemáticos profesionales tendrán la misma
impresión ante este texto que la mayoría de los lectores
no matemáticos: algunas palabras reconocibles entre
una mayoría de términos y signos incomprensibles y
cuyo significado se nos escapa completamente.

Y esto nos lleva al siguiente elemento esencial de
un texto de matemáticas: laDemostración del resultado enunciado. En el ejemplo que hemos considerado
al principio, comenzaba así:

Theorem 3.1 en Multilinear extensions of Grothendieck’s theorem, por F. Bombal, D. Pérez, e I. Villanueva. Quat. J. Math. (2004), 441150.
2 Se trata de la famosa Conjetura de Goldbach, aparecida por primera vez en una carta enviada por Christian Goldbach en 1742 al brillante
matemático suizoLeonhard Euler.

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Fernando Bombal Gordón

Demostración: Procederemos por inducción sobre
n. Para n 1 el resultado es conocido (véase [7.;
Theorem 11.14] y [10]). Sea entonces n – 2 ...(a continuación aparece una serie de argumentos más o
menos ininteligibles para el no experto y, finalmente,
las esperadas iniciales Q.E.D.).
Como su propio nombre indica, la demostración
incluye una seriede argumentos con los que el autor
trata de convencer al lector de la veracidad del
resultado enunciado. La inteligibilidad de los razonamientos que aparecen en ella dependerá de nuestra formación y del contenido matemático del enunciado. En
general, abundan frases como “por tanto” o “en consecuencia”, que parecen indicar que las afirmaciones
que siguen tienen un grado de certeza irrefutable.Incluso a veces da la sensación de que los argumentos
se deducen infaliblemente, por un procedimiento puramente mecánico, de los datos del enunciado, y
pudieran ser producidos por una máquina. En realidad,
jamás se ha construido una máquina capaz de reproducir todas las demostraciones que puedan aparecer en
un libro de texto elemental de aritmética. Más aún, es
imposible construir una...