Demostración de las Leyes de Morgan y otras demostraciones

I NTRODUCCIÓN AL Á LGEBRA S UPERIOR

ACTIVIDAD 2:
OPERACIONES DE CONJUNTOS
M AYO, 2015
UNADM

Eder Ivan Díaz Soto
Matrícula:ES1511105154
es1511105154@unadmexico.mx
Docente: Héctor Pérez Serrano

ACTIVIDAD 2: O PERACIONES DE CONJUNTOS
Instrucciones : Realiza las demostraciones y los ejercicios, justificando cada uno de los pasos
aplicados.
1. Demostrar las Leyes de De Morgan.
Ambas Leyes de DeMorgan se demostrarán mediante argumentos de pertenencia.
P RIMERA L EY DE M ORGAN : (A ∪ B )c = A c ∩ B c
Demostración. Sea x ∈ U , entonces:
x ∈ (A ∪ B )c ⇒ x ∉ A ∪ B
⇒ x ∉ A∧x ∉B
⇒ x ∈ Ac ∧ x ∈ Bc
⇒ x ∈ Ac ∩ B c
Por lo que (A ∪ B )c ⊆ A c ∩ B c .
Por otro lado, se establece la inclusión opuesta:
x ∈ Ac ∩ B c ⇒ x ∈ Ac ∧ x ∈ B c
⇒ x ∉ A∧x ∉B
⇒ x ∉ A ∪B
⇒ x ∈ (A ∪ B )c
En consecuencia como (A∪ B )c ⊆ A c ∩ B c ∧ A c ∩ B c ⊆ (A ∪ B )c , sigue que (A ∪ B )c = A c ∩ B c .

Q.e.d.
S EGUNDA L EY DE M ORGAN : (A ∩ B )c = A c ∪ B c
Demostración. Sea x ∈ U , entonces:
x ∈ (A ∩ B )c ⇒ x ∉ (A ∩ B )⇒ x ∉ A∧x ∉B
⇒ x ∈ Ac ∧ x ∈ B c
⇒ x ∈ Ac ∪ B c

2

Por lo que (A ∩ B )c ⊆ A c ∪ B c .
Por otro lado, se establece la inclusión opuesta:
x ∈ Ac ∪ B c ⇒ x ∈ Ac ∧ x ∈ B c
⇒ x ∉ A∧x ∉B
⇒ x ∉ (A ∩ B )
⇒ x∈ (A ∩ B )c
En consecuencia como (A ∩ B )c ⊆ A c ∪ B c ∧ A c ∪ B c ⊆ (A ∩ B )c , sigue que (A ∩ B )c = A c ∪ B c .

Q.e.d.
2. Escribir por extensión el conjunto: A = x|x 2 = 4

A = {−2, 2}
3. Sean A ={2, 4, 6, ...}, B = {3, 6, 9, ...}, determinar A ∩ B .
Por extensión: C = A ∩ B = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}
Por especificación: C = A ∩ B = {x|x es múltiplo de 6}
4. Sea A = {0, 1}, B = {x|x es unnúmero compuesto},C = {y|y es un número primo}. ¿Qué conjunto representa A ∪ B ∪C ?
Debido a que el conjunto de los números naturales ℵ se compone por números primos y
números compuestos, entonces B∪C = el conjunto de los números naturales ℵ, consecuentemente A ∪ B ∪C = {x|x es el conjunto de los números reales positivos ℜ+ }.
5. Demuestra que A

B =B

A, para cualquier conjunto A y B....