DEMOSTRACIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN RLC Y SUS SOLUCIONES


Presentado por:
Dahiana Carolina Pulido Pinzón

DEMOSTRACIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN RLC Y SUS SOLUCIONES

Partiendo de un circuito RLC en paralelo con una Rdiferente de 0, suponiendo que la bobina y el condensador tienen la capacidad de almacenar energía y aplicando las leyes de Kirchoff LCK se obtiene:
; en donde el signo de depende de la dirección dela corriente
Se necesitan condiciones iniciales de la bobina y el condensador;

Se deriva a ambos lados,

Suponiendo que , se sustituye en la ecuación anterior;
, se factoriza entoncesen la ecucación anterior ;
, para que se satisfaga la ecuación anteriormente expuesta los factores
ó bien deben ser cero en dicho caso la ecuación característica como es llamada tiene 2soluciones (tiene 2 soluciones por ser de segundo grado);



Las soluciones anteriormente dadassatisfacen la ecuacióny para demostrarlo se puede;

Sustituir por obteniendo, ,y , por obteniendo;
Al satisfacer la ecuación diferencial con las 2 soluciones se
Obtiene; , y,
Luego al sumar ambas soluciones se obtiene la expresión:

Y recordando que se obtiene queNota: (exponente st [t= segundos; s = s-1 ] unidades de frecuencia )
Sabiendo que es la frecuencia de resonancia se obtiene ,
Y es la frecuencianeperiana o coeficiente de amortiguamiento se obtiene ;
Los términos se utilizan para simplificar por lo que se debe recordar que:
= Frecuencia
= Rapidez
= Frecuencias Complejas
Teniendo encuenta los términos para simplificar se tiene en cuenta que;





Existen entonces 3 soluciones (circuito sobreamortiguado, circuito subamortiguado y circuito críticamente amortiguado) :
siendoreales = Sobreamotiguado
siendo reales = Subamortiguado
= Críticamente amortiguado
Teniendo en cuenta las soluciones anteriores se tienen 3 ecuaciones para cada...