Densidad Aspectral

Unidad II. Densidad espectral

En matemáticas y en física, la Densidad Espectral (Spectral Density) de una señal es una función matemática que nos informa de cómo está distribuida la potencia o la energía (según el caso) de dicha señal sobre las distintas frecuencias de las que está formada, es decir, su espectro.

La definición matemática de la Densidad Espectral (DE) es diferentedependiendo de si se trata de señales definidas en energía, en cuyo caso hablamos de Densidad Espectral de Energía (DEE), o en potencia, en cuyo caso hablamos de Densidad Espectral de Potencia (DEP).

Aunque la densidad espectral no es exactamente lo mismo que el espectro de una señal, a veces ambos términos se usan indistintamente, lo cual, en rigor, es incorrecto.

Densidad espectral de energía
Parael caso de señales definidas en energía
Una señal x(t) es definida en energía si su energía media es finita, i.e, y por tanto, su potencia media es cero. Otra forma de decir lo mismo es si la integral de su valor absoluto al cuadrado existe y es finita
Su DEE es

Donde X(f) es la Transformada de Fourier de x(t), la integral de esta función en todo el eje f es el valor de la energía total dela señal x(t)

Densidad espectral de potencia

Las siglas de DEP en ingles son PSD (Power Spectral Density)

La densidad espectral de potencia difiere de la densidad espectral de energía en que la primera no toma valores infinitos, al estar dividida por T, con lo que podemos representarlo gráficamente de forma adecuada. La segunda en cambio, al estar representando la dispersión de la energíaen frecuencia y, al ser la energía infinita (con señal periódica), tendrá probablemente zonas de frecuencia que tomen valores infinitos. Como su nombre indica la densidad espectral de potencia nos muestra como esta dispersada la potencia en función de la frecuencia, mientras que la densidad espectral de energía, como esta dispersada la energía.

Probemos ahora, a sacar la DEP de un coseno.Primeramente, la densidad espectral de energía da infinito (lógico), y la densidad espectral de potencia no podemos resolverla, pues estamos trabajando con valores que tienden a infinito en ciertos puntos, por lo que no nos ha sido de utilidad la función para ver la dispersión de potencia. Para solucionarlo definimos una nueva función.

Funciones de correlación.

Decimos que existe correlaciónentre dos variables cuando existe una relación clara entre ellas, es decir si los cambios en los valores de una de ellas influye en los valores de la otra. La correlación entre dos variables puede ser positiva o directa cuando al aumentar una variable la otra también tiende a aumentar o negativa o inversa si el incremento en el valor de una variable hace que la otra tienda a crecer o a disminuir.Sabemos que:

Como hacemos el módulo de una señal, una propiedad de la densidad espectral de potencia es que es siempre real y positiva.

Ahora bien, definamos una función cuya transformada de Fourier sea la función DEP. Para hacerlo, hacemos la transformada inversa de DEP.

Esta función, llamada correlación, se define en función de en vez de t.

Finalmente:

La correlación, sedefine también entre distintas señales, no solo para x, a lo que se llama correlación cruzada. Entre sus propiedades tenemos:

Ahora, podremos saber la densidad espectral de potencia de las señales:

Saquemos ahora, la DEP y la potencia

La correlación de la suma de dos señales
¿Cuál es la correlación de una señal que es a su vez suma de 2 señales?

Ruido blanco de banda limitada.
El ruidoblanco es una señal aleatoria (proceso estocástico) que se caracteriza por el hecho de que sus valores de señal en dos tiempos diferentes no guardan correlación estadística. Como consecuencia de ello, su densidad espectral de potencia (PSD, siglas en inglés de power spectral density) es una constante, es decir, su gráfica es plana. Esto significa que la señal contiene todas las frecuencias y...