Denteros

1
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————————————————

DE LOS ENTEROS A LOS
DOMINIOS
´
Primer curso de Algebra Abstracta

————————————————

Roberto Ruiz Salguero (*)
Miembro del grupo VIALTOPO (**)

(*) Departamento de Matematicas, Universidad del Valle
(**) Grupo VIsion ALgebraica de la TOPOlog´
ıa
Cali,COLOMBIA 2006

Dedicatoria

A mi maestro

James Stasheff
y
a mi hermano y maestro

Carlos Ruiz Si

PREFACIO

Estas notas, en lo fundamental, son una gu´ de estudio de los temas que
ıa
aparecen en el ´
ındice. Se trata de que el estudiante haga el trabajo matem´a
tico con base en esta gu´ y, por supuesto, con la asesor´ del profesor. Los
ıa
ıa
temas han sido organizados y subdivididos al punto que el estudiante debe
dise˜ar y ejecutar las demostraciones ´l solo. Algunosteoremas constituyen
n
e
excepciones a este deseo y seguramente la intervenci´n del profesor se hace
o
necesaria.
De acuerdo con lo precedente este trabajo no es recomendable como texto
de consulta en lo relativo a la presencia exhaustiva de demostraciones y
“ejemplos tipo”. Esto no existe en esta obra.
El cap´
ıtulo 9 es fundamental dentro de la l´
ınea pedag´gica del texto y
o
presuponela dedicaci´n de tiempo regular de clase como a cualquier cap´
o
ıtulo
de los anteriores pero a diferencia de ´stos en ese cap´
e
ıtulo el expositor es el
estudiante. Junto a un minucioso an´lisis de qu´ aspectos se usan en ellos
a
e
(de parte del estudiante) lo usamos como un periodo ordenado y riguroso de
preparaci´n de examen final. En ´l, nuestros estudiantes son responsables
o
ede todo detalle de los aspectos te´ricos cuya relevancia haya sido detectada
o
en los ejercicios del cap´
ıtulo.
El ´
ındice y el t´
ıtulo de la obra hablan por s´ solos sobre el tema del texto,
ı
excepto por un punto: profundidad. Aqu´ se da una visi´n somera de las
ı
o
estructuras algebr´icas presentes en los enteros. Lo suficiente para que el
a
estudiante maneje esos conceptos concierta soltura. Lo hecho, sin embargo,
sino es exhaustivo s´ es riguroso.
ı
Acerca de la notaci´n:
o
2 al final de un p´rrafo y significa que ah´ se cierra una discusi´n iniciada
a
ı
o
ii

iii
poco antes. Cierra definiciones y proposiciones, teoremas y corolarios con sus
demostraciones. Cuando estos se cierran sin demostraci´n, salvo afirmaci´n
o
o
que diga otra cosa, la demostraci´nqueda como ejercicio para el estudiante.
o
(W ) significa contradicci´n y ((, )) es el s´
o
ımbolo de m´ximo com´n divisor.
a
u
Usamos doble par´ntesis para evitar confusi´n con el s´
e
o
ımbolo de pareja.
Igualmente para evitar confusi´n con el signo de quebrado (/) usamos aDb
o
(en lugar de a|b) para la afirmaci´n “a divide a b”.
o
Acerca de requisitos: Las primeras proposiciones sonun empalme con
el curso de Sistemas Num´ricos, que es un requisito para este curso. Las
e
demostraciones de ellas son hechas en el curso mencionado en los enteros,
racionales, reales y complejos y se espera que el estudiante pueda reproducirlos y medir as´ el nivel de actualizaci´n de estos conceptos.
ı
o
Finalmente una nota acerca de los subt´
ıtulos: En este texto un subt´
ıtulo
essimplemente una se˜al f´cilmente detectable del sitio donde se introduce
na
un concepto o se demuestra un teorema central, dentro del contexto. No
significa el tema se desarrolla, con preponderancia, hasta cerrarlo.

Adendo a la Segunda Edici´n
o
Agradezco las correcciones enviadas por los lectores que han permitido
mejoras importantes en la impresi´n. Especial agradecimiento al profesor
oJos´ M. Castro por sus invaluables sugerencias.
e

Roberto Ruiz S. Julio de 1.999

iv

SIMBOLOS
S´
ımbolo

SIGNIFICADO

PAG

Z
Z
−a

Los n´meros enteros
u
Inverso de a para operaci´n +
o
Inverso de a para operaci´n ×
o
Inverso de a para operaci´n ×
o
M´dulo para operaci´n +
o
o
M´dulo para operaci´n ×
o
o
Conjunto A con operaci´n +
o
Cerrado de afirmaci´n...