Departamental ecuaciones diferenciales

Section 1. Reactivos de opci´n m´ltiple
o
u
En cada uno de los siguientes reactivos seleccione
la opci´n correcta. Dispone de dos horas para conteso
tar el examen y no se permite usar calculadora.
1. [20]De acuerdo al m´todo de Frobenius, cuane
do las ra´
ıces de la ecuaci´n indicial difieren en
o
un entero positivo, la soluci´n debe proponerse
o
como:
(a)

y1 = Σ∞ cn xn+r1 ,
n=0y2 = Σ∞ bn xn+r2 ,
n=0

(b)

y1 = Σ∞ cn xn+r1 ,
c0 = 0
n=0
y2 = y1 (x) ln x + Σ∞ bn xn+r2 , b0 = 0.
n=0

(c)
(d)

Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias

c0 = 0
b0 = 0.

Ninguna.
y1 = Σ∞ cn xn+r1 ,
c0 = 0
n=0
∞
n+r2
y2 = Cy1 (x) ln x + Σn=0 bn x
, b0 = 0.

2. [19]La transformada de Laplace de la funci´n
o
f (t) = eat u(t), se define como:
(a)
(b)

L[f (t)] =

(c)L[f (t)] =

(d)

Examen Departamental

L[f (t)] =

L[f (t)] =

∞ −st
e dt.
0−
∞ −st
te dt.
0−
∞ t(a−s)
e
dt.
0−
∞ t(s−a)
e
dt.
0−

3. [11]La soluci´n del problema de valor inicial y −
o
y = xe2x , y(0) = 1 es:
(a)

y = xe2x − 2e2x + 3ex .

(b)

y = 2xe2x − 2e2x + 3ex .

(c)

y = 2xe2x − 2e2x + 2ex .

(d)

y = 2xe2x − 2e2x + 3ex .

4. [2]La ecuaci´ndiferencial asociada con la primo
itiva y(x) = ex + Ce−x , es:
(a)

y + y = 0.

(b)

y + y − 2ex = 0.

(c)

y + y − 2ee = 0.

(d)

y −y =0

5. [4]Identificar la ecuaci´n diferencial de la coro
respondiente familia de curvas ortogonales a la
c
familia de hip´rbolas rectangulares y = x
e
(a)

= x.
y

(b)
Name:

dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx

= x2 y.

(c)

N. U. A.:(d)
1

= −x.
1
= − x2 .

12. [18]Un cuerpo pesa 24 lb sujeto al extremo de
un resorte lo estira una longitud de 4 plg., si el
cuerpo se encuentra en reposo y se suelta desde
un punto que est´ 3 plg. arriba de la posici´n
a
o
de equilibrio. ¿Cu´l de las siguientes ecuaciones
a
diferenciales corresponde al modelo matem´tico
a
del problema dado?:

6. [6]El factor integrantepara obtener la soluci´n
o
1
x

de la ecuaci´n diferencial y +
o
debe ser:
(a)

1
µ = x.

(b)

µ = cos 2x.

(c)

µ = ln x.

(d)

y = 3 cos 2x

µ = x.

(a)

d2 x
dt2

+ 54x = 0, x(0) = 1/4.

2

W = 0.

(b)

W = 20.

(c)

W = 20x.

(d)

(c)

W = 20x4 .

+ 9 x = 0, x(0) = −3.
2

d2 x
dt2

+ 96x = 0, x(0) = −1/4.

13. [3]Determinar cu´l de lassiguientes ecuaciones
a
diferenciales es no lineal de tercer orden:
(a)

2

+1

y
x

=

ln

(b)

y
x

C(x + y)2 = e .

(d)

ln

2

+

y
x

x2 y − 4xy + 5y = cos x

14. [17]Sea la ecuaci´n diferencial y − 2y + 5y =
o
ex sen x, determine la funci´n homog´nea o
o
e
complementaria que formar´ la soluci´n genıa
o
eral de la ecuaci´n diferencial.
o

y

(c)y 2 y − 4xy + 5y = cos x.

(d)

C(x + y)2 = xe x .

(1 − y 3 )y − 4xy + 5y = cos x.

(c)

+ C.

(a)

(1 − x3 )y − 4x2 y + 5y = cos x.

(b)

8. [5]La soluci´n general de la ecuaci´n diferencial
o
o
(x2 + y 2 )dx + (x2 − xy)dy = 0 es

x+y
x

d x
dt2

(d)

(a)

y
x

+ 8x = 0, x(0) = 3.

(b)

7. [15]El valor del wronskiano de las siguientes
funciones y1 = x2, y2 = x3 , y3 = x−2 , es:

d2 x
dt2

= C.

(a)

(a)
(b)

x/2

(c)

y=e

(d)

.

(a)

(b)

y = c1 x + c2 x3 .

(c)

y = c1 sen (ln x) + c2 cos (ln x).

(d)

y = c1 x2 + c2 ln x.

11. [14]Determine la soluci´n general de la ecuaci´n
o
o
diferencial y − y + 4y = 0 es:
√

15t
2

√

+ c2 cos

(b)

y = et/2 c1 sen

(c)

y = c1 et/2 + c2 e

(d)y = c1 e

t/2

15t
2 .

√

+ c2 e

15t
2 + c2
√
it 15/2

√

cos

15t
2

.

.

√
it 15/2

+ c3 e−it

√
15/2

.

2

y=±

5x
2−5cx5 .

(c)

y = c1 sen (ln x2 ) + c2 cos (ln x2 ).

5
2+5cx5 .

y=±

5x
1+5cx5 .

(d)

(a)

y=±

(b)

10. [12]La soluci´n general de la ecuaci´n de
o
o
Cauchy-Euler x2 y + xy + 4y = 0 es:

y = c1 sen...