Dependencia De Trayectoria

C´alculo II: Integrales de l´ınea:
Independencia de la trayectoria, diferenciales
Prof Jes´us Hern´andez Trujillo Facultad de Qu´ımica, UNAM
1. Independencia de la trayectoria
Consid´erese la integral de l´ınea
R

¯ F · d¯r, sobre la trayectoria  de un campo
vectorial ¯ F = (f1, f2) que se obtiene del gradiente de un campo escalar, ¯ F =
∇(x, y). Se dice que ¯ F es un campoconservativo. En tal caso:
¯ F =

@
@x
,
@
@y
!
y por lo tanto:
Z

¯ F · d¯r =
Z t2
t1

@
@x
,
@
@y
!
·

dx
dt
,
dy
dt
!
dt
=
Z t2
t1
(
@
@x
dx
dt
+
@
@y
dy
dt
)
dt
=
Z t2
t1
d
dt
{[x(t), y(t)]} dt
= [x(t2), y(t2)] − [x(t1), y(t1)]
Es decir, la integral de l´ınea es independiente de la trayectoria.
Otra manera de expresar este resultado es:la integral
Z

[f1dx + f2dy]
es independiente de la trayectoria si y s´olo si existe (x, y) tal que
f1(x, y) =
@
@x
, f2(x, y) =
@
@y
De aqu´ı se obtiene:
@f1
@y
=
@f2
@x
De forma gr´afica, las integrales de l´ınea del campo conservativo ¯ F desde el
punto A al punto B sobre las trayectorias 1 y 2 son iguales:
1
A
B
x
y
1
2
R
1
¯ F · d¯r =
R
2
¯ F · d¯rcuando ¯ F es conservativo
Tambi´en es posible realizar la integral pero ahora sobre la trayectoria cerrada
compuesta por los segmentos AB sobre 1 y BA sobre 2, este ´ultimo en el sentido
contrario al indicado en la figura anterior:
I
¯ F · d¯r =
Z
1
¯ F · d¯r −
Z
2
¯ F · d¯r = 0
Es decir, la integral de l´ınea de un campo conservativo sobre una trayectoria
cerrada es igual a cero.Este mismo an´alisis tambi´en es aplicable al caso de campos vectoriales conser-
vativos en ℜ3, ¯ F = (f1, f2, f3).
En resumen, ¯ F es conservativo cuando:
1.
R
¯ F · d¯r es independiente de la trayectoria.
2.
H
¯ F · d¯r = 0
3. ∃ tal que ¯ F = ∇
4. ∇ × ¯ F = ¯0
2. Diferenciales
2.1. Diferencial total
La diferencial total de z = (x, y) se define por
d =

@
@x
!
dx +@
@y
!
dy
donde dx y dy son las diferenciales de x y y, respectivamente, e indica cu´al es
el efecto que tienen sobre la variable dependiente cambios infinitesimales en las
2
variables independientes. Ese efecto depende de la relaci´on funcional entre las
variables y del valor (x, y) en que se eval´ue. En el caso de una funci´on de m´as
variables la extensi´on es directa.
N´otese que dtambi´en puede escribirse como
dz =

@
@x
!
dx +

@
@y
!
dy =

@
@x
,
@
@y
!
· (dx, dy) = ∇ · d¯r
Ejemplos:
1. La diferencial total de z = e−x+y2
es dz = −e−x+y2
dx + 2ye−x+y2
dy.
2. Encuentra la diferencial total de w = ln (uv/[s + t]).
2.2. Diferenciales exactas e inexactas
A continuaci´on se define una variable infintesimal en dos variables:
!(x, y) = P(x,y)dx + Q(x, y)dy .
Se trata de una variable infinitesimal porque involucra a los elementos dx y dy.
Una pregunta de inter´es es si existe un campo escalar (x, y) tal que ! = d, es
decir, si ! es la diferencial total de un campo escalar en dos variables. En tal caso,
se dice que ! es una diferencial exacta; en el contrario, que no lo es.
Cuando ! es una diferencial exacta, se cumple que
! =d =

@
@x
!
dx +

@
@y
!
,
y por lo tanto:
P(x, y) =
@
@x
Q(x, y) =
@
@y
.
Adem´as, como las derivadas iteradas son iguales,
@2 
@ y @ x
=
@2 
@ x @ y
,
entonces
@P
@y
=
@Q
@x
.
3
En el caso de tres variables,
! = P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
es una diferencial exacta si y s´olo si
@P
@y
=
@Q
@x
,
@P
@z
=
@R
@x
, y
@Q
@z
=@R
@y
.
Estas expresiones se conocen como relaciones de Maxwell y son de particular
importancia en termodin´amica.
Cuando P(x, y)dx+Q(x, y)dy +R(x, y)dz es una diferencial exacta la integral
de l´ınea entre los puntos A(xA, yA, zA) y B(xB, yB, zB) a lo largo de la trayectoria
 est´a dada por:
Z

[P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz] =
Z B
A
d = |B
A = (xB, yB, zB)−(xA,...