Deporte
2
Funciones
1
2.4 Composición de funciones
Definiremos otra nueva función, la composición de g seguida de f , denotada por f ı g. El dominio de f ı g es un subconjunto del dominio de g y se expresa como Df ıg . El contradominio de f ı g es el contradominio de f . A cualquier elemento x 2 Df ıg la función f ı g le hace corresponder f Œg.x/. Así: def .f ı g/.x/ D f Œg.x/: Lafunción f ı g se denomina también como g compuesta con f .
Dg Rg Df
Cf
x
g
g.x/
f
f Œg.x/
f ıg
El dominio de esta función es Df ıg D D
1
D
x 2 Dg g.x/ 2 Df
x 2 R g.x/ 2 R & f Œg.x/ 2 R :
x 2 R .f ı g/.x/ 2 R
D
x 2 R f Œg.x/ 2 R D
x 2 R x 2 Dg & g.x/ 2 Df
D
D
canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008
1
2 Ejemplo 2.4.1 Dadas las funciones p f .u/ D25
Cálculo Diferencial e Integral I
u;
g.t/ D t 2 C 9
&
h.y/ D
y
5:
1. Obtener los dominios de f , g & h. 2. Obtener .h ı g/.x/ y el dominio de h ı g. 3. Obtener .g ı h/.x/ y el dominio de g ı h. 4. Obtener .g ı f /.x/ y el dominio de g ı f . H 1. D D f Dg D Dh D D D u 2 R f .u/ 2 R t 2 R g.t/ 2 R y 2 R h.y/ 2 R y2 R y 5 0 u 2 R 25 u 0 D D D u2 R p 25
5. Obtener .f ıg/.x/ y el dominio de f ı g. 6. Obtener .h ı f /.x/ y el dominio de h ı f . 7. Obtener .f ı h/.x/ y el dominio de f ı h.
u2 R
D D RI D
t 2 R .t 2 C 9/ 2 R y2 R y2 R y y 5
u 2 R u Ä 25
D . 1; 25 I
D D
52 R
D Œ5; C1/ :
2. .h ı g/.x/ D hŒg.x/ D h.x 2 C 9/ D
.x 2 C 9/
5D
x 2 C 4: 5. 5 D
Vemos que g.x/ 2 Dh ) g.x/ 2 Œ5; C1/ ) x 2 C 9 Dhıg D D x2 R x x 2 Dg g.x/ 2Dh
2
4
D R:
D
x 2 R x2 C 9
p 3. .g ı h/.x/ D gŒh.x/ D g. x Dgıh D D x 5 x 5
p 5/ D . x D D
x 2 Dh h.x/ 2 Dg
5/2 C 9 D x 5 C 9 D x C 4I p x 5 x 52 R D 5 D Œ5; C1/ :
x2 R x
Como se puede apreciar la composición de funciones no es conmutativa. Esto es, en general .g ı h/.x/ 6D .h ı g/.x/: p 4. .g ı f /.x/ D gŒf .x/ D g. 25 Dgıf D D 2 D x Ä 25 25 x p x/ D . 25 D D 0x/2 C 9 D 25 x C 9 D 34 p x Ä 25 25 x 2 R D x D xI
x 2 Df f .x/ 2 Dg x Ä 25 x Ä 25
D . 1; 25 :
x Ä 25 25
2.4 Composición de funciones p 25 p 16
3
5. .f ı g/.x/ D f Œg.x/ D f .x 2 C 9/ D Df ıg D D D 6. x 2 R x 2 Ä 16 x2 R x 2 Dg g.x/ 2 Df jx j Ä 4 D D
25 D
x 2 R x 2 C 9 Ä 25 D p p x2 R x 2 Ä 16 D x2 R p 25 4ÄxÄ4
.x 2 C 9/ D
x2
9D
x2 I
D Œ 4; 4 :
p .h ı f/.x/ D hŒf .x/ D h. 25 Dhıf D D
x/ D
x p
5I D D
25 x 2 Œ5; C1/ x 2 Df f .x/ 2 Dh D x Ä 25 p x Ä 25 25 x 5 D x Ä 25 25 x 25 D x 0 D x Ä 25 x Ä 0 D
D x Ä 25 D . 1; 0 : 7.
x2 R xÄ0
p .f ı h/.x/ D f Œh.x/ D f . x Df ıh D D x 5 x
5/ D D D
25 x x
x 2 Dh h.x/ 2 Df 5 Ä 625
p x 5I p 5 x 5 Ä 25 5 x Ä 630
D
D Œ5; 630 :
Ejercicios 2.4.1 Soluciones en la página 51. Dadas las funciones f .x/ D dominio de f ı g. p 7 p 9 x & g.x/ D j 5 8x j, obtener el dominio de f; .f ı g/.x/ y el 4 j & h.x/ D x 2 f & f ı g. h 5 : Calcular, obtener o determinar, según 5, obtener f h .x/ y
2. Dadas las funciones f .x/ D
2x, g.x/ D j 3x
.f ı g/.x/, así como los dominios de las funciones 3. Sean las funciones f .x/ D proceda: p x C 3 & g.x/ D x2
1
a. Dominios def , g, f C g & fg. b. f Œg. 3/, gŒf .6/ y el dominio de gŒf .x/. 4. Si f .x/ D x 3 C 2 & g.x/ D 2 x 1 W
a. Encuentre los dominios de f y de g. 3
4
Cálculo Diferencial e Integral I b. Dé las reglas de correspondencia así como los dominios de las siguientes funciones: g ; g ı f & f ı g. f 5. Si f .x/ D f /.x/. p 4 x & g.x/ D 1 x2 1 , obtener, reduciendo a su mínima expresión: .f g/.x/ &.g ı
En cada caso proporcionar el dominio de la función. 6. Sean: f .x/ D p xC1 & g.x/ D 1 : x2 C 1
a. Obtenga los dominios de f y de g. b. Obtenga reglas de correspondencia y dominios de las funciones f C g, f =g, f ı g, g ı f . 7. Si f .x/ D j3 4x j 4, g.x/ D p 3 2x & h.x/ D 4 x2 4 ; encontrar:
a. El dominio de f . b. Los dominios de g y de h. c. .h ı g/.x/ y el dominio de h ı g. p...
Regístrate para leer el documento completo.