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Ecuación Ordinaria de la Circunferencia Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C(h;k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x". Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(2;6) y con radio r = 4 (x - 2)² + (y - 6)² = 4² Ecuación Canónica de la Circunferencia Sean ahoralas coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x". Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio r = 3 x ² + y ² = 3² Ecuación General de la Circunferencia Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir suecuacion ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:Prueba:Ejemplo: Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4 (x - 2)² + (y - 6)² = 4² x² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4² x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16 x² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0 x² + y² - 4x - 12y + 24 = 0 D = -4 , E = -12 , F =+24 Observaciones: Dada la ecuacion de la circunferencia x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se cumple que:

circunferencia El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro. El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida por 2π. Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro estádado por C (2, ─3), con radio r = 5 que se muestra en la figura

Para obtener la ecuación general de la circunferencia que estamos viendo podemos usar dos métodos:
Método por desarrollo y
Método con las fórmulas conocidas.
Método por desarrollo
Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de la circunferencia será
(x ─ a)2  +  (y ─ b)2 =r2 donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso corresponde a C (2, ─3)
entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como
(x ─ 2)2  +  (y ─ ─ 3)2  = 52
(x ─ 2)2  +  (y + 3)2  = 52
(x ─ 2)2  +  (y + 3)2  = 25
Nota: algunos usan otras letras, como (x ─ h)2  +  (y ─ k)2
  
Sigamos.
Tenemos nuestra ecuación ordinaria
(x ─ 2)2  +  (y + 3)2  = 25
y desarrollamos  sus dos binomios:(x  ─ 2) (x  ─ 2) + (y  +  3) (y  +  3) = 25
(x2 ─ 2x ─ 2x + 4) + (y2 + 3y + 3y + 9) = 25
(x2 ─ 4x  +  4) + (y2 + 6y + 9) = 25
Recordemos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es
x2  + y2 + Dx + Ey + F = 0
Entonces, ordenamos nuestra ecuación anterior y la acomodamos de acuerdo con la fórmula general:
x2  +  y2  ─ 4x  +  6y + 4 + 9 ─ 25 = 0
x2  +  y2  ─ 4x  +  6y  ─12 = 0
que es la ecuación general de la circunferencia con centro en las coordenadas 2,  ─3 y cuyo radio es 5.
 
Método con las fórmulas conocidas
Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces aplicamos las fórmulas
Si     entonces   D = ─ 2a    
Si       entonces   E = ─ 2b    
Si       entonces    F = a2 + b2 ─  r2 
Recordemos que C (2, ─3)  corresponde a C (a, b)Entonces, hacemos:



F = 4 + 9 ─ 25 = ─12
 
Si recordamos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
y en ella sustituimos los valores ahora conocidos de D, E y F, tendremos
x2 + y2 + ─4x + 6y + ─12 = 0
x2 + y2 + ─4x + 6y ─12 = 0
obtenemos la misma ecuación general de la circunferencia que logramos mediante el método del desarrollo.
Ahora,hagamos algunos ejercicios
Ejercicio 1
Encuentre la ecuación general de la circunferencia cuyo centro está en las coordenadas  y que tiene un radio igual a
.

Resolución por desarrollo
En este caso podemos usar las fracciones o convertirlas a decimales:.
Como el centro no está en el origen vamos a usar la fórmula ordinaria para llegar a la desarrollada:
Para hacerlo, partamos de aquí:...